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21. 如图所示,已知在$Rt\triangle ABC$中,$∠B= 90^{\circ}$,$E是AC$的中点,$AC= 2AB$,$∠BAC的平分线AD交BC于点D$,作$AF// BC$,连接$DE并延长交AF于点F$,连接$FC$。求证：四边形$ADCF$是菱形。
答案：
证明：
∵ AF//CD，
∴ ∠AFE=∠CDE.在△AFE和△CDE中，$\begin{cases}∠AFE=∠CDE, \\∠AEF=∠CED, \\AE=CE,\end{cases}$
∴ △AEF≌△CED.
∴ AF=CD.
∵ AF//CD，
∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∵ ∠B=90°，AC=2AB，
∴ ∠ACB=30°.
∴ ∠CAB=60°.
∵ AD平分∠CAB，
∴ ∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，
∴ DA=DC.
∴ 四边形ADCF是菱形.
∵ AF//CD，
∴ ∠AFE=∠CDE.在△AFE和△CDE中，$\begin{cases}∠AFE=∠CDE, \\∠AEF=∠CED, \\AE=CE,\end{cases}$
∴ △AEF≌△CED.
∴ AF=CD.
∵ AF//CD，
∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∵ ∠B=90°，AC=2AB，
∴ ∠ACB=30°.
∴ ∠CAB=60°.
∵ AD平分∠CAB，
∴ ∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD，
∴ DA=DC.
∴ 四边形ADCF是菱形.
22. 如图所示,已知四边形$ABCD和四边形DEFG$为正方形,点$E在线段DC$上,点$A$、$D$、$G$在同一直线上,且$AD= 3$,$DE= 1$,连接$AC$、$CG$、$AE$,并延长$AE交CG于点H$。求线段$AH$的长。
答案：
∵ $\begin{cases}DG=DE, \\∠GDC=∠EDA, \\DC=DA,\end{cases}$
∴ △GDC≌△EDA.
∴ ∠GCD=∠EAD，GC=AE=$\sqrt{10}$.
∵ ∠EHC=∠EDA=90°，
∴ AH⊥GC.
∵ $S_{\triangle AGC}=\frac{1}{2}\cdot AG\cdot DC=\frac{1}{2}\cdot GC\cdot AH$，
∴ $\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×\sqrt{10}× AH$，
∴ AH=$\frac{6}{5}\sqrt{10}$.
∵ $\begin{cases}DG=DE, \\∠GDC=∠EDA, \\DC=DA,\end{cases}$
∴ △GDC≌△EDA.
∴ ∠GCD=∠EAD，GC=AE=$\sqrt{10}$.
∵ ∠EHC=∠EDA=90°，
∴ AH⊥GC.
∵ $S_{\triangle AGC}=\frac{1}{2}\cdot AG\cdot DC=\frac{1}{2}\cdot GC\cdot AH$，
∴ $\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×\sqrt{10}× AH$，
∴ AH=$\frac{6}{5}\sqrt{10}$.
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