《2025年一遍过七年级数学上册苏科版》

1 [2025 扬州仪征期中]若 $ m - 3n = - 3 $,则 $ (m - 3n)^{2} - 2m + 6n - 8 $ 的值为7.

答案： 7 当m-3n=-3时,(m-3n)²-2m+6n-8=(m-3n)²-2(m-3n)-8=(-3)²-2×(-3)-8=7.

2 [2025 无锡期中]已知 $ a - 2b = 3 $, $ 2b - c = - 5 $,则多项式 $ 2a + 2b - 3c $ 的值为______.
[答案]：-9 2a+2b-3c=(2a-4b)+(6b-3c)=2(a-2b)+3(2b-c)=2×3+3×(-5)=-9.

答案： -9 2a+2b-3c=(2a-4b)+(6b-3c)=2(a-2b)+3(2b-c)=2×3+3×(-5)=-9.

3 [2025 泉州期中]理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法.
例如：若 $ x^{2} + x = 0 $,求代数式 $ x^{2} + x + 1186 $ 的值.我们将 $ x^{2} + x $ 作为一个整体代入,则原式 $ = 0 + 1186 = 1186 $.
仿照上面的解题方法,完成下面的问题：
(1)如果 $ a + b = 3 $,求 $ 2(a + b) - 4a - 4b + 21 $ 的值；
(2)若 $ a^{2} + 2ab = 20 $, $ b^{2} + 2ab = 8 $,求 $ a^{2} + 2b^{2} + 6ab $ 的值；
(3)当 $ x = s - 2t $ 时,代数式 $ ax^{5} + bx^{3} + cx + 1 $ 的值为 $ 2024 $,求当 $ x = 2t - s $ 时,代数式 $ ax^{5} + bx^{3} + cx + 1 $ 的值.

答案： 解:
(1)因为a+b=3,所以2(a+b)-4a-4b+21=2(a+b)-4(a+b)+21=2×3-4×3+21=15.
(2)因为a²+2ab=20,b²+2ab=8,所以a²+2b²+6ab=a²+2ab+2(b²+2ab)=20+2×8=36.
(3)当x=s-2t时,则有ax⁵+bx³+cx+1=a(s-2t)⁵+b(s-2t)³+c(s-2t)+1=2024,即a(s-2t)⁵+b(s-2t)³+c(s-2t)=2023.当x=2t-s时,ax⁵+bx³+cx+1=a(2t-s)⁵+b(2t-s)³+c(2t-s)+1=-a(s-2t)⁵-b(s-2t)³-c(s-2t)+1=-[a(s-2t)⁵+b(s-2t)³+c(s-2t)]+1=-2023+1=-2022.

(1)一个两位数的十位数字是 $ a $,个位数字是 $ b $ ($ a \neq b $),把它十位上的数字与个位上的数字对调,得到一个新的两位数. 原两位数与新两位数的和能被 $ 11 $ 整除吗？其差一定是哪个数的倍数？为什么？

答案：
(1)原两位数与新两位数的和能被11整除,其差一定是9的倍数.理由如下:由题意,得原来的两位数为10a+b,对调后的两位数为10b+a,因为(10a+b)+(10b+a)=10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b),所以原两位数与新两位数的和能被11整除.因为(10a+b)-(10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b),且a≠b,所以其差一定是9的倍数.

(2)一个正两位数的个位数字是 $ a $,十位数字比个位数字大 $ 2 $. 把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数,试说明新数与原数的和能被 $ 22 $ 整除.

答案：
(2)由题意,得原来的两位数为10(a+2)+a=11a+20,交换位置后新的两位数为10a+a+2=11a+2.因为(11a+2)+(11a+20)=22a+22=22(a+1),a+1为整数,所以新数与原数的和能被22整除.

(3)一个三位数,它的百位数字为 $ a $,十位数字为 $ b $,个位数字为 $ c $,若把它的百位数字与个位数字对调,将得到一个新的三位数. 计算新三位数与原三位数之差的绝对值,该绝对值能被 $ 9 $ 整除吗？为什么？

答案：
(3)该绝对值能被9整除.理由如下:由题意,得这个三位数为100a+10b+c,交换位置后得到的新三位数为100c+10b+a.因为|(100c+10b+a)-(100a+10b+c)|=|99c-99a|=9|11c-11a|,所以新三位数与原三位数之差的绝对值能被9整除.

(4)设$\overline {abcd}$是一个四位数,若 $ a + b + c + d $ 可以被 $ 9 $ 整除,则这个数也可以被 $ 9 $ 整除,试说明理由.

答案：
(4)$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$.因为111a+11b+c是整数,所以9(111a+11b+c)可以被9整除.因此,若a+b+c+d可以被9整除,则$\overline{abcd}$也可以被9整除.