《2025年暑假作业知识出版社七年级数学华师大版》

14. 如图,点 P 在$∠AOB$的内部,点 C 和点 P 关于 OA 对称,点 P 关于 OB 的对称点是点 D,连结 CD 交 OA 于点 M,交 OB 于点 N,连结 OP、PM、PN.
(1)①若$∠AOB= 60^{\circ }$,求$∠COD$的度数;
②若$∠AOB= n^{\circ }$,则$∠COD= $______°(用含 n 的代数式表示).
(2)若$CD= 4$,则$△PMN$的周长为______.

答案：
解
(1) ①
∵ 点C和点P关于OA对称，
∴ ∠AOC = ∠AOP。
∵ 点P关于OB的对称点是点D，
∴ ∠BOD = ∠BOP，
∴ ∠COD = ∠AOC + ∠AOP + ∠BOP + ∠BOD = 2(∠AOP + ∠BOP) = 2∠AOB = 2 × 60° = 120°。
② 2n
(2) 4
∵ 点C和点P关于OA对称，
∴ CM = PM。
∵ 点P关于OB的对称点是点D，
∴ DN = PN。
∵ CM + MN + DN = CD = 4，
∴ PM + MN + PN = 4，
即△PMN的周长为4。

美丽的花朵
自然界中植物的叶子,花瓣的形状,动物的定向、定位行为,都可以用数学来描述.

同学们,图中描述的是哪些植物的花朵,你们知道吗? 你们知道图中的花朵是用什么方法画出来的吗?
图中描述的花朵分别是：三叶玫瑰线对应植物花朵、四叶玫瑰线对应植物花朵、六叶玫瑰线对应植物花朵、类似圆与圆弧组合的花朵图形（无特定单一严格对应植物）；这些花朵是用极坐标方程的方法画出来的。

答案： 本题可根据常见用数学方法描述的花朵以及其绘制方法进行解答。
步骤一：判断花朵对应的植物
图中描述的花朵分别是：三叶玫瑰线（对应部分近似三叶玫瑰的植物花朵）、四叶玫瑰线（对应部分近似四叶玫瑰的植物花朵）、六叶玫瑰线（对应部分近似六叶玫瑰的植物花朵）、 一种由圆和圆弧组成类似花朵的图形（可类比一些具有圆形或近似圆形花瓣组合的植物花朵，实际中没有完全严格对应的特定单一植物花朵名称，主要是从数学图形角度描述）。
步骤二：判断花朵的绘制方法
这些花朵是用极坐标方程的方法画出来的。例如玫瑰线的极坐标方程为$r = a\sin(n\theta)$或$r = a\cos(n\theta)$（$a\neq0$），当$n$为整数时，可画出不同叶数的玫瑰线；最后一个图形可以通过圆的方程$x^{2}+y^{2}=r^{2}$（直角坐标方程）以及圆弧相关的几何构造（在极坐标下也可通过相应的方程和变换）来绘制。
综上，答案依次为：**三叶玫瑰线对应植物花朵、四叶玫瑰线对应植物花朵、六叶玫瑰线对应植物花朵、类似圆与圆弧组合的花朵图形（无特定单一严格对应植物）；极坐标方程的方法**。