《2025年暑假作业知识出版社七年级数学华师大版》

14. 阅读理解：若$p$,$q$,$m$为整数,且三次方程$x^{3} + px^{2} + qx + m = 0有整数解x = c$,则将$x = c$代入方程,得$c^{3} + pc^{2} + qc + m = 0$,根据加数与和的关系,得$m = - c^{3} - pc^{2} - qc$,对右边逆用乘法分配律,得$m = c(- c^{2} - pc - q)$. 因为$- c^{2} - pc - q$,$c及m$都是整数,所以$c是m$的因数. 上述过程说明：整数系数方程$x^{3} + px^{2} + qx + m = 0的整数解只可能是m$的因数. 例如：方程$x^{3} + 4x^{2} + 3x - 2 = 0中- 2的因数为1$,$- 1$,$2$,$- 2$,将它们分别代入方程$x^{3} + 4x^{2} + 3x - 2 = 0$进行验证,得$x = - 2$是该方程的整数解,$- 1$,$1$,$2$不是该方程的整数解. 根据以上信息,解决下列问题：
(1)试猜想方程$x^{3} + x^{2} + 5x + 7 = 0$的整数解可能是哪几个整数.
答：方程$x^{3} + x^{2} + 5x + 7 = 0$的整数解可能是1，-1，7，-7。
(2)方程$x^{3} - 2x^{2} - 4x + 3 = 0$是否有整数解？若有,请求出其整数解；若没有,请说明理由.
答：该方程有整数解，其整数解为3。

答案： 解
(1)由题中信息可知：该方程如果有整数解，那么只可能是 $7$ 的因数，而 $7$ 的因数只有 $1$，$-1$，$7$，$-7$ 这四个数，所以方程 $x^{3} + x^{2} + 5x + 7 = 0$ 的整数解可能是 $1$，$-1$，$7$，$-7$。
(2)该方程有整数解。方程的整数解只可能是 $3$ 的因数，即 $1$，$-1$，$3$，$-3$，将它们分别代入方程 $x^{3} - 2x^{2} - 4x + 3 = 0$，得 $x = 3$ 是该方程的整数解。