《2025年一本暑假衔接五年级数学人教版》

用简便方法计算下面算式。
$ \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 1 2 } + \frac { 1 } { 2 0 } + \frac { 1 } { 3 0 } + \frac { 1 } { 4 2 } + \frac { 1 } { 5 6 } + \frac { 1 } { 7 2 } $
思路导引: 算式中分数的分子都是1,分母都可以写成两个相邻自然数相乘的形式,那么算式中的分数可以拆成分子是1,分母是这两个自然数的分数相减的形式。
$ \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 1 × 2 } = 1 - \frac { 1 } { 2 }, \frac { 1 } { 6 } = \frac { 1 } { 2 × 3 } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 }, \frac { 1 } { 1 2 } = \frac { 1 } { 3 × 4 } = \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 }, \frac { 1 } { 2 0 } = \frac { 1 } { 4 × 5 } = \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 }, $
$ \frac { 1 } { 3 0 } = \frac { 1 } { 5 × 6 } = \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 6 }, \frac { 1 } { 4 2 } = \frac { 1 } { 6 × 7 } = \frac { 1 } { 6 } - \frac { 1 } { 7 }, \frac { 1 } { 5 6 } = \frac { 1 } { 7 × 8 } = \frac { 1 } { 7 } - \frac { 1 } { 8 }, \frac { 1 } { 7 2 } = \frac { 1 } { 8 × 9 } = \frac { 1 } { 8 } - \frac { 1 } { 9 } 。$
在计算过程中就可以将一部分分数抵消,使计算更简便。
规范解答$: \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 1 2 } + \frac { 1 } { 2 0 } + \frac { 1 } { 3 0 } + \frac { 1 } { 4 2 } + \frac { 1 } { 5 6 } + \frac { 1 } { 7 2 } = \frac { 1 } { 1 × 2 } + \frac { 1 } { 2 × 3 } + \frac { 1 } { 3 × 4 } + \frac { 1 } { 4 × 5 } + \frac { 1 } { 5 × 6 } + \frac { 1 } { 6 × 7 } + \frac { 1 } { 7 × 8 } + \frac { 1 } { 8 × 9 } = 1 - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 6 } - \frac { 1 } { 7 } + \frac { 1 } { 7 } - \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } - \frac { 1 } { 9 } = 1 - \frac { 1 } { 9 } = \frac { 8 } { 9 } $

答案： 规范解答$: \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 1 2 } + \frac { 1 } { 2 0 } + \frac { 1 } { 3 0 } + \frac { 1 } { 4 2 } + \frac { 1 } { 5 6 } + \frac { 1 } { 7 2 } = \frac { 1 } { 1 × 2 } + \frac { 1 } { 2 × 3 } + \frac { 1 } { 3 × 4 } + \frac { 1 } { 4 × 5 } + \frac { 1 } { 5 × 6 } + \frac { 1 } { 6 × 7 } + \frac { 1 } { 7 × 8 } + \frac { 1 } { 8 × 9 } = 1 - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 6 } - \frac { 1 } { 7 } + \frac { 1 } { 7 } - \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } - \frac { 1 } { 9 } = 1 - \frac { 1 } { 9 } = \frac { 8 } { 9 } $

1. 计算$: \frac { 1 } { 1 9 × 2 0 } + \frac { 1 } { 2 0 × 2 1 } + \frac { 1 } { 2 1 × 2 2 } + … + \frac { 1 } { 8 8 × 8 9 } $

答案： $\frac{1}{19 × 20} + \frac{1}{20 × 21} + \frac{1}{21 × 22} + \cdots + \frac{1}{88 × 89}$
$= \frac{1}{19} - \frac{1}{20} + \frac{1}{20} - \frac{1}{21} + \frac{1}{21} - \frac{1}{22} + \cdots + \frac{1}{88} - \frac{1}{89}$
$= \frac{1}{19} - \frac{1}{89}$
$= \frac{70}{1691}$