《2025年Happy暑假作业快乐暑假武汉大学出版社七年级数学》

13. (★★★)如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,若$∠AOD= $$70^{\circ },∠BOE-∠BOC= 50^{\circ }$,求$∠DOE$的度数.

答案： 证明：
∵直线AB与CD相交于点O
∴∠AOD与∠BOC是对顶角
∴∠AOD=∠BOC
∵∠AOD=70°
∴∠BOC=70°
∵∠BOE-∠BOC=50°
∴∠BOE=∠BOC+50°=70°+50°=120°
∵直线AB与EF相交于点O
∴∠AOB=180°
即∠AOE+∠BOE=180°
∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-120°=60°
∵∠AOD=70°
∴∠DOE=∠AOE+∠AOD=60°+70°=130°

14. (★★★★)如图,已知$OA⊥OB,OC⊥OD$,且$∠AOD:$$∠BOC= 4:5$,求$∠BOC$的度数.

答案： 【解析】：因为 $OA \perp OB$，$OC \perp OD$，所以 $\angle AOB = 90^\circ$，$\angle COD = 90^\circ$。
观察图形可知，$\angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle AOD = 360^\circ$（周角的定义）。
将已知角度代入可得：$90^\circ + \angle BOC + 90^\circ + \angle AOD = 360^\circ$，化简得 $\angle AOD + \angle BOC = 180^\circ$。
设 $\angle AOD = 4x$，$\angle BOC = 5x$（因为 $\angle AOD : \angle BOC = 4:5$），则 $4x + 5x = 180^\circ$，解得 $9x = 180^\circ$，$x = 20^\circ$。
所以 $\angle BOC = 5x = 5 × 20^\circ = 100^\circ$。
【答案】：100°

15. (★★★★)如图,直线 AB,CD 相交于点 O,$OE⊥CD$于点 O.OD 平分$∠BOF,∠BOE= 48^{\circ }$,求$∠AOC,∠EOF和∠AOF$的度数.

答案： 证明：
∵OE⊥CD
∴∠EOD=90°
∵∠BOE=48°
∴∠BOD=∠EOD-∠BOE=90°-48°=42°
∵∠AOC与∠BOD是对顶角
∴∠AOC=∠BOD=42°
∵OD平分∠BOF
∴∠BOF=2∠BOD=84°
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=48°+84°=132°
∵∠AOB=180°
∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=180°-84°=96°

考古工作者在某地考察时,发现一座古塔. 为了实地测量这座古塔外墙底部墙角(如图所示的$∠AGB$)的大小,在不能进入塔内测量的情况下,你能用所学过的知识帮考古人员解决这个问题吗?

答案： 证明：能，方法如下：
延长AG至点M，延长BG至点N，
则∠MGN即为∠AGB的对顶角，
∵对顶角相等，
∴∠MGN=∠AGB，
测量出∠MGN的度数，即得∠AGB的度数。