《2025年Happy暑假作业快乐暑假武汉大学出版社七年级数学》

12. (★★★)若$\sqrt {a+8}与(b-27)^{2}$互为相反数,求$\sqrt [3]{a}-\sqrt [3]{b}$的立方根.

答案： 解：
∵$\sqrt{a+8}$与$(b-27)^2$互为相反数
∴$\sqrt{a+8}+(b-27)^2=0$
∵$\sqrt{a+8}\geq0$，$(b-27)^2\geq0$
∴$a+8=0$，$b-27=0$
∴$a=-8$，$b=27$
∴$\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{27}=-2-3=-5$
∴$\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$的立方根是$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}$

13. (★★★)(1)填表:
| a | 0.000001 | 0.001 | 1 | 1000 | 1000000 |
| $\sqrt [3]{a}$ | | | | | |
(2)由上面的表格你发现了什么规律? 用语言叙述这个规律;
(3)根据你发现的规律填空:
①已知$\sqrt [3]{3}= 1.442$,则$\sqrt [3]{3000}= $____,$\sqrt [3]{0.003}= $____;
②已知$\sqrt [3]{0.000456}= 0.07696$,则$\sqrt [3]{456}= $____.

答案： 【解析】：
(1) 计算各数的立方根：
$\sqrt[3]{0.000001} = 0.01$（因为$0.01^3 = 0.000001$）
$\sqrt[3]{0.001} = 0.1$（因为$0.1^3 = 0.001$）
$\sqrt[3]{1} = 1$（因为$1^3 = 1$）
$\sqrt[3]{1000} = 10$（因为$10^3 = 1000$）
$\sqrt[3]{1000000} = 100$（因为$100^3 = 1000000$）
(2) 观察表格中$a$与$\sqrt[3]{a}$的关系：当被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动三位时，它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点相应地向右（或向左）移动一位。
(3) ① 已知$\sqrt[3]{3} = 1.442$：
$\sqrt[3]{3000}$中，3000是3的小数点向右移动三位得到的，所以立方根的小数点向右移动一位，即$\sqrt[3]{3000} = 14.42$；
$\sqrt[3]{0.003}$中，0.003是3的小数点向左移动三位得到的，所以立方根的小数点向左移动一位，即$\sqrt[3]{0.003} = 0.1442$。
② 已知$\sqrt[3]{0.000456} = 0.07696$：
456是0.000456的小数点向右移动六位得到的（相当于向右移动两个三位），所以立方根的小数点向右移动两位，即$\sqrt[3]{456} = 7.696$。
【答案】：
(1)0.01，0.1，1，10，100；
(2)当被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位时，它的立方根的小数点相应地向右（或向左）移动一位；
(3)①14.42，0.1442；②7.696

14. (★★★)已知$x-2的平方根是\pm 4,2x-y+12$的立方根是4,求$(x+y)^{x+y}$的值.

答案： 解：
∵x-2的平方根是±4，
∴x-2=16，
∴x=18，
∵2x-y+12的立方根是4，
∴2x-y+12=64，
将x=18代入2x-y+12=64中，
36-y+12=64，
∴y=-16，
∴x+y=18+(-16)=2，
∴(x+y)^{x+y}=2^{2}=4.

依照平方根(二次方根)和立方根(三次方根)的定义可给出四次方根、五次方根的定义:①如果$x^{4}= a(a≥0)$,那么x叫作a的四次方根;②如果$x^{5}= a$,那么x叫作a的五次方根.请依据以上两个定义,解决下列问题:
(1)求81的四次方根;
(2)求-32的五次方根;
(3)求下列各式中未知数x的值:
①$x^{4}= 16;$
②$100000x^{5}= 243.$

答案：
(1)
∵ (±3)⁴=81
∴ 81的四次方根是±3
(2)
∵ (-2)⁵=-32
∴ -32的五次方根是-2
(3) ① 解：
∵ x⁴=16
∵ (±2)⁴=16
∴ x=±2
② 解：100000x⁵=243
x⁵=243/100000
∵ (3/10)⁵=243/100000
∴ x=3/10