《2025年Happy暑假作业快乐暑假武汉大学出版社七年级数学》

8. (★★)解方程组$\left\{\begin{array}{l} 7x+5y= 3,\\ 4x-5y= -4\end{array} \right. $用______法解较简便．

答案： 【解析】：观察方程组中两个方程的y项系数分别为5和-5，互为相反数。根据加减消元法的特点，当两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程相加或相减可以消去这个未知数，从而简化计算。这里y的系数互为相反数，将两个方程相加即可消去y，所以用加减消元法解较简便。
【答案】：加减消元

9. (★★★)方程组$\left\{\begin{array}{l} x-y= 2,\\ 2x+y= 7\end{array} \right. $的解是______．

答案： 【解析】：对于方程组$\left\{\begin{array}{l} x - y = 2\\2x + y = 7\end{array}\right.$，可以使用加减消元法求解。将两个方程相加，可得：$(x - y)+(2x + y)=2 + 7$，化简得$3x = 9$，解得$x = 3$。把$x = 3$代入第一个方程$x - y = 2$，即$3 - y = 2$，解得$y = 1$。所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x = 3\\y = 1\end{array}\right.$。
【答案】：$\left\{\begin{array}{l} x=3\\ y=1\end{array}\right. $

10. (★★★)若$|x+1|+(2x-y)^{2}= 0$,则$x^{2}-y= $______．

答案： 【解析】：因为绝对值和平方数都是非负数，要使$|x + 1| + (2x - y)^2 = 0$成立，则每一项都必须为$0$。
首先，$|x + 1| = 0$，解得$x + 1 = 0$，即$x = -1$。
然后，将$x = -1$代入$(2x - y)^2 = 0$，可得$2×(-1) - y = 0$，即$-2 - y = 0$，解得$y = -2$。
最后，计算$x^2 - y$，将$x = -1$，$y = -2$代入，得到$(-1)^2 - (-2) = 1 + 2 = 3$。
【答案】：3

11. (★★★)二元一次方程$x+3y= 7$的非负整数解是______．

答案： 【解析】：要求二元一次方程$x + 3y = 7$的非负整数解，即$x$和$y$都是大于等于$0$的整数。
首先，将方程变形为$x = 7 - 3y$。
因为$x$是非负整数，所以$7 - 3y \geq 0$，解得$y \leq \frac{7}{3}$，即$y$的可能取值为$0$，$1$，$2$（因为$y$是整数）。
当$y = 0$时，$x = 7 - 3×0 = 7$，得到解$\begin{cases} x = 7 \\ y = 0 \end{cases}$；
当$y = 1$时，$x = 7 - 3×1 = 4$，得到解$\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$；
当$y = 2$时，$x = 7 - 3×2 = 1$，得到解$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$；
当$y = 3$时，$x = 7 - 3×3 = -2$，此时$x$为负数，不符合非负整数的要求，所以$y$不能取大于$2$的值。
综上，方程的非负整数解为$\begin{cases} x = 7 \\ y = 0 \end{cases}$，$\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$，$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$。
【答案】：$\begin{cases} x=7 \\ y=0 \end{cases}$，$\begin{cases} x=4 \\ y=1 \end{cases}$，$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$

12. (★★★)已知满足方程组$\left\{\begin{array}{l} 3x+5y= k+1,\\ 2x+3y= 5\end{array} \right. 的x$,$y$值之和为2,求$k$的值．

答案： 【解析】：已知方程组$\left\{\begin{array}{l} 3x + 5y = k + 1\\ 2x + 3y = 5\end{array}\right.$，且$x + y = 2$。首先，由$x + y = 2$可得$x = 2 - y$。将$x = 2 - y$代入第二个方程$2x + 3y = 5$中，得到$2(2 - y) + 3y = 5$，即$4 - 2y + 3y = 5$，化简得$y = 1$。将$y = 1$代入$x = 2 - y$，可得$x = 1$。再将$x = 1$，$y = 1$代入第一个方程$3x + 5y = k + 1$，得到$3×1 + 5×1 = k + 1$，即$8 = k + 1$，解得$k = 7$。
【答案】：7

13. (★★★)解下列方程组．
(1)$\left\{\begin{array}{l} \frac {m}{2}+\frac {n}{3}= 13,\\ \frac {m}{3}-\frac {n}{4}= 3;\end{array} \right. $
(2)$\left\{\begin{array}{l} 3(x+y)-4(x-y)= 4,\\ \frac {x+y}{2}+\frac {x-y}{6}= 1.\end{array} \right. $

答案：
(1)解：原方程组可化为
$\left\{\begin{array}{l}3m + 2n = 78①\\4m - 3n = 36②\end{array}\right.$
①×3，得$9m + 6n = 234$③
②×2，得$8m - 6n = 72$④
③+④，得$17m = 306$
解得$m = 18$
将$m = 18$代入①，得$3×18 + 2n = 78$
$54 + 2n = 78$
$2n = 24$
解得$n = 12$
$\therefore$原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}m = 18\\n = 12\end{array}\right.$
(2)解：设$a = x + y$，$b = x - y$
原方程组可化为
$\left\{\begin{array}{l}3a - 4b = 4①\\frac{a}{2}+\frac{b}{6}=1②\end{array}\right.$
②×6，得$3a + b = 6$③
③ - ①，得$5b = 2$
解得$b=\frac{2}{5}$
将$b = \frac{2}{5}$代入③，得$3a+\frac{2}{5}=6$
$3a=\frac{28}{5}$
解得$a=\frac{28}{15}$
$\therefore\left\{\begin{array}{l}x + y=\frac{28}{15}④\\x - y=\frac{2}{5}⑤\end{array}\right.$
④ + ⑤，得$2x=\frac{34}{15}$
解得$x=\frac{17}{15}$
④ - ⑤，得$2y=\frac{22}{15}$
解得$y=\frac{11}{15}$
$\therefore$原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{17}{15}\\y=\frac{11}{15}\end{array}\right.$