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8. (★★★)如图,(1)$∠1与∠2$是____被____截成的____角;
(2)$∠2与∠3$是____被____截成的____角;
(3)$∠3与∠A$是____被____截成的____角;
(4)AB,AC 被 BE 截成的内错角是____,同旁内角是____;
(5)DE,BC 被 AB 截成的同位角是____,同旁内角是____.
(2)$∠2与∠3$是____被____截成的____角;
(3)$∠3与∠A$是____被____截成的____角;
(4)AB,AC 被 BE 截成的内错角是____,同旁内角是____;
(5)DE,BC 被 AB 截成的同位角是____,同旁内角是____.
答案：
【解析】：（1）观察图形，∠1和∠2，∠1在直线DE和BE的交点处，∠2在直线BC和BE的交点处，直线DE和BC被直线BE所截，∠1和∠2都在截线BE的同侧，且在被截线DE、BC的下方，所以是同位角。
（2）∠2与∠3，∠2在直线BC和BE的交点，∠3在直线AC和BE的交点，直线BC和AC被直线BE所截，∠2和∠3在截线BE的两侧，且在被截线BC、AC之间，所以是内错角。
（3）∠3与∠A，∠3在直线AC和BE的交点，∠A在直线AB和AC的交点，直线BE和AB被直线AC所截，∠3和∠A在截线AC的同侧，且在被截线BE、AB之间，所以是同旁内角。
（4）AB、AC被BE截，AB与BE相交形成∠ABE，AC与BE相交形成∠3，内错角是在截线两侧，被截线之间，所以∠ABE和∠3是内错角；同旁内角是在截线同侧，被截线之间，AB与BE形成的另一个角和AC与BE形成的角，即∠CBE和∠3是同旁内角（这里∠ABE和∠CBE互为邻补角，根据图形标注∠2是∠CBE，所以同旁内角是∠2和∠3）。
（5）DE、BC被AB截，DE与AB相交形成∠ADE，BC与AB相交形成∠B，同位角是在截线同侧，被截线同方向，所以∠ADE和∠B是同位角；同旁内角是在截线同侧，被截线之间，DE与AB形成的∠BDE和BC与AB形成的∠B在截线AB同侧，被截线DE、BC之间，所以∠BDE和∠B是同旁内角。
【答案】：（1）DE、BC；BE；同位；（2）BC、AC；BE；内错；（3）BE、AB；AC；同旁内；（4）∠ABE和∠3；∠2和∠3；（5）∠ADE和∠B；∠BDE和∠B
（2）∠2与∠3，∠2在直线BC和BE的交点，∠3在直线AC和BE的交点，直线BC和AC被直线BE所截，∠2和∠3在截线BE的两侧，且在被截线BC、AC之间，所以是内错角。
（3）∠3与∠A，∠3在直线AC和BE的交点，∠A在直线AB和AC的交点，直线BE和AB被直线AC所截，∠3和∠A在截线AC的同侧，且在被截线BE、AB之间，所以是同旁内角。
（4）AB、AC被BE截，AB与BE相交形成∠ABE，AC与BE相交形成∠3，内错角是在截线两侧，被截线之间，所以∠ABE和∠3是内错角；同旁内角是在截线同侧，被截线之间，AB与BE形成的另一个角和AC与BE形成的角，即∠CBE和∠3是同旁内角（这里∠ABE和∠CBE互为邻补角，根据图形标注∠2是∠CBE，所以同旁内角是∠2和∠3）。
（5）DE、BC被AB截，DE与AB相交形成∠ADE，BC与AB相交形成∠B，同位角是在截线同侧，被截线同方向，所以∠ADE和∠B是同位角；同旁内角是在截线同侧，被截线之间，DE与AB形成的∠BDE和BC与AB形成的∠B在截线AB同侧，被截线DE、BC之间，所以∠BDE和∠B是同旁内角。
【答案】：（1）DE、BC；BE；同位；（2）BC、AC；BE；内错；（3）BE、AB；AC；同旁内；（4）∠ABE和∠3；∠2和∠3；（5）∠ADE和∠B；∠BDE和∠B
9. (★★★)如图,直线 a,b,c 交于一点,$∠1= 30^{\circ },∠2= 50^{\circ }$,则$∠3= $____.
答案：
【解析】：由图可知，直线a，b，c交于一点，形成了一个周角。周角的度数为$360^{\circ}$，$∠1$、$∠2$与$∠3$所在的角以及$∠1$的对顶角、$∠2$的对顶角共同组成了这个周角。但观察图形可发现，$∠1$、$∠2$和$∠3$所在的三个角正好是周角中不重叠的三个部分，且$∠1$的对顶角与$∠1$相等，$∠2$的对顶角与$∠2$相等，不过这里更简便的是，$∠1$、$∠2$和$∠3$所在的角以及它们各自的对顶角之和为$360^{\circ}$，而$∠3$的对顶角就是$∠3$本身，所以$2∠1 + 2∠2 + 2∠3 = 360^{\circ}$，等式两边同时除以2可得$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180^{\circ}$。已知$∠1 = 30^{\circ}$，$∠2 = 50^{\circ}$，则$∠3=180^{\circ}-∠1 - ∠2=180^{\circ}-30^{\circ}-50^{\circ}=100^{\circ}$。
【答案】：100°
【答案】：100°
10. (★★★)如图,直线 AB,CD 交于点 O,OA 平分$∠EOC$,且$∠EOD= 120^{\circ }$,则$∠BOD= $____.
答案：
【解析】：因为直线CD上的点O，所以∠EOC与∠EOD互为邻补角，即∠EOC + ∠EOD = 180°。已知∠EOD = 120°，则∠EOC = 180° - 120° = 60°。
由于OA平分∠EOC，所以∠AOE = ∠AOC = ∠EOC / 2 = 60° / 2 = 30°。
直线AB和CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠BOD = ∠AOC = 30°。
【答案】：30°
由于OA平分∠EOC，所以∠AOE = ∠AOC = ∠EOC / 2 = 60° / 2 = 30°。
直线AB和CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角，根据对顶角相等的性质，可得∠BOD = ∠AOC = 30°。
【答案】：30°
11. (★★★)如图,在三角形 ABC 中,$AC⊥BC,CD⊥AB$于点 D.
(1)AB,AC,CD 之间的大小关系为____;(用“＜”号连接起来)
(2)若$AC= 12,BC= 5,AB= 13$,求点 C 到线段 AB 的距离.
(1)AB,AC,CD 之间的大小关系为____;(用“＜”号连接起来)
(2)若$AC= 12,BC= 5,AB= 13$,求点 C 到线段 AB 的距离.
答案：
【解析】：（1）在直角三角形 $ABC$ 中，$AC \perp BC$，$CD \perp AB$。因为从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，所以 $CD$ 是点 $C$ 到 $AB$ 的垂线段，$AC$ 是直角边，$AB$ 是斜边。在直角三角形中斜边最长，所以 $AB ＞ AC$，又因为垂线段最短，所以 $CD ＜ AC$，因此 $CD ＜ AC ＜ AB$。
（2）已知 $AC = 12$，$BC = 5$，$AB = 13$。三角形 $ABC$ 的面积可以用两直角边乘积的一半计算，即 $S = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30$。也可以用斜边 $AB$ 乘以斜边上的高 $CD$ 的一半来计算，即 $S = \frac{1}{2} × AB × CD$。所以 $\frac{1}{2} × 13 × CD = 30$，解得 $CD = \frac{60}{13}$。
【答案】：（1）$CD ＜ AC ＜ AB$；（2）$\frac{60}{13}$
（2）已知 $AC = 12$，$BC = 5$，$AB = 13$。三角形 $ABC$ 的面积可以用两直角边乘积的一半计算，即 $S = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 12 × 5 = 30$。也可以用斜边 $AB$ 乘以斜边上的高 $CD$ 的一半来计算，即 $S = \frac{1}{2} × AB × CD$。所以 $\frac{1}{2} × 13 × CD = 30$，解得 $CD = \frac{60}{13}$。
【答案】：（1）$CD ＜ AC ＜ AB$；（2）$\frac{60}{13}$
12. (★★★★)如图,直线 AB,CD 交于点 O,$∠AOE= 30^{\circ },$$∠BOC= 2∠AOC$,求$∠DOF$的度数.
答案：
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠AOC+∠BOC=180°（邻补角互补），
∵∠BOC=2∠AOC，
∴∠AOC+2∠AOC=180°，
∴∠AOC=60°，
∵∠AOE=30°，
∴∠EOC=∠AOC-∠AOE=60°-30°=30°，
∵∠DOF与∠EOC是对顶角，
∴∠DOF=∠EOC=30°（对顶角相等）。
∵直线AB，CD交于点O，
∴∠AOC+∠BOC=180°（邻补角互补），
∵∠BOC=2∠AOC，
∴∠AOC+2∠AOC=180°，
∴∠AOC=60°，
∵∠AOE=30°，
∴∠EOC=∠AOC-∠AOE=60°-30°=30°，
∵∠DOF与∠EOC是对顶角，
∴∠DOF=∠EOC=30°（对顶角相等）。
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