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1. (★★)下列计算正确的是 ( )
A.$\sqrt {3}+\sqrt {2}= \sqrt {6}$
B.$3+2\sqrt {3}= 5\sqrt {3}$
C.$\sqrt {3}a-\sqrt {2}a= a$
D.$\sqrt {2}+\frac {1}{2}\sqrt {2}= \frac {3}{2}\sqrt {2}$
A.$\sqrt {3}+\sqrt {2}= \sqrt {6}$
B.$3+2\sqrt {3}= 5\sqrt {3}$
C.$\sqrt {3}a-\sqrt {2}a= a$
D.$\sqrt {2}+\frac {1}{2}\sqrt {2}= \frac {3}{2}\sqrt {2}$
答案：
【解析】：选项A，$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能直接相加，所以A错误；选项B，3是有理数，$2\sqrt{3}$是无理数，不能合并，所以B错误；选项C，$\sqrt{3}a$与$\sqrt{2}a$不是同类二次根式，不能直接相减，所以C错误；选项D，$\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}=(1+\frac{1}{2})\sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，所以D正确。
【答案】：D
【答案】：D
2. (★★)$-\frac {5}{3},-\sqrt {2},-\sqrt {3},-\frac {π}{2}$四个数中,最大的数是 ( )
A.$-\frac {5}{3}$
B.$-\sqrt {2}$
C.$-\sqrt {3}$
D.$-\frac {π}{2}$
A.$-\frac {5}{3}$
B.$-\sqrt {2}$
C.$-\sqrt {3}$
D.$-\frac {π}{2}$
答案：
【解析】：要比较$-\frac{5}{3}$，$-\sqrt{2}$，$-\sqrt{3}$，$-\frac{\pi}{2}$这四个负数的大小，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的原则，先求出它们的绝对值并比较大小。
$\left|-\frac{5}{3}\right|=\frac{5}{3}\approx1.6667$；$\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}\approx1.4142$；$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}\approx1.7321$；$\left|-\frac{\pi}{2}\right|=\frac{\pi}{2}\approx1.5708$。
比较绝对值大小：$\sqrt{3}\approx1.7321＞\frac{5}{3}\approx1.6667＞\frac{\pi}{2}\approx1.5708＞\sqrt{2}\approx1.4142$。
所以原负数的大小关系为：$-\sqrt{2}＞-\frac{\pi}{2}＞-\frac{5}{3}＞-\sqrt{3}$，最大的数是$-\sqrt{2}$。
【答案】：B
$\left|-\frac{5}{3}\right|=\frac{5}{3}\approx1.6667$；$\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}\approx1.4142$；$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}\approx1.7321$；$\left|-\frac{\pi}{2}\right|=\frac{\pi}{2}\approx1.5708$。
比较绝对值大小：$\sqrt{3}\approx1.7321＞\frac{5}{3}\approx1.6667＞\frac{\pi}{2}\approx1.5708＞\sqrt{2}\approx1.4142$。
所以原负数的大小关系为：$-\sqrt{2}＞-\frac{\pi}{2}＞-\frac{5}{3}＞-\sqrt{3}$，最大的数是$-\sqrt{2}$。
【答案】：B
3. (★★★)如图,数轴上表示$1,\sqrt {3}$的对应点分别为点A,点B.若点B关于点A的对称点为点C,则点C所表示的数为 ( )
A.$\sqrt {3}-1$
B.$1-\sqrt {3}$
C.$2-\sqrt {3}$
D.$\sqrt {3}-2$
A.$\sqrt {3}-1$
B.$1-\sqrt {3}$
C.$2-\sqrt {3}$
D.$\sqrt {3}-2$
答案：
【解析】：设点C所表示的数为$x$。因为点B关于点A的对称点为点C，所以点A是线段BC的中点。根据中点坐标公式，中点所表示的数等于两端点所表示数的和的一半，可得$1 = \frac{x + \sqrt{3}}{2}$。解方程可得$x = 2 - \sqrt{3}$。
【答案】：C
【答案】：C
4. (★★)写出在3和4之间的一个无理数______.
答案：
【解析】：无理数是指无限不循环小数。要找到3和4之间的无理数，可以考虑平方根的形式。因为$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，所以只要找到一个被开方数在9和16之间且不是完全平方数的数，其算术平方根就是3和4之间的无理数。例如$\sqrt{10}$，因为$9 ＜ 10 ＜ 16$，所以$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，且$\sqrt{10}$是无理数。
【答案】：$\sqrt{10}$（答案不唯一）
【答案】：$\sqrt{10}$（答案不唯一）
5. (★★★)$1-\sqrt {5}$的相反数是______,绝对值是______.
答案：
【解析】：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，所以$1 - \sqrt{5}$的相反数是$-(1 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 1$。
因为$\sqrt{5} \approx 2.236$，所以$1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$，是负数。根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$|1 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 1$。
【答案】：$\sqrt{5}-1$，$\sqrt{5}-1$
因为$\sqrt{5} \approx 2.236$，所以$1 - \sqrt{5} \approx 1 - 2.236 = -1.236$，是负数。根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$|1 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 1$。
【答案】：$\sqrt{5}-1$，$\sqrt{5}-1$
6. (★★★)如果$\sqrt {10}$在两个连续整数a和b之间,即$a＜\sqrt {10}＜b$,那么a,b的值分别是______.
答案：
【解析】：因为$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，而$9 ＜ 10 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$。因此，$a = 3$，$b = 4$。
【答案】：3,4
【答案】：3,4
7. (★★)在数轴上离原点距离是$\sqrt {5}$的点表示的数是______.
答案：
【解析】：在数轴上，一个点到原点的距离等于这个点所表示的数的绝对值。设该点表示的数为$x$，则$|x| = \sqrt{5}$，所以$x = \pm\sqrt{5}$。
【答案】：$\pm\sqrt{5}$
【答案】：$\pm\sqrt{5}$
8. (★★)若$x^{2}= 12$,则x是一个______数,x的整数部分是______.
答案：
【解析】：因为$x^{2}=12$，所以$x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$。由于$\sqrt{3}$是无理数，所以$2\sqrt{3}$也是无理数，即$x$是一个无理数。
又因为$9 ＜ 12 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{12} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{12} ＜ 4$，所以$\sqrt{12}$的整数部分是$3$，那么$-\sqrt{12}$的整数部分是$-4$，但题目问的是$x$的整数部分，这里通常指的是算术平方根对应的整数部分，所以$x$的整数部分是$3$。
【答案】：无理；3
又因为$9 ＜ 12 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{12} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{12} ＜ 4$，所以$\sqrt{12}$的整数部分是$3$，那么$-\sqrt{12}$的整数部分是$-4$，但题目问的是$x$的整数部分，这里通常指的是算术平方根对应的整数部分，所以$x$的整数部分是$3$。
【答案】：无理；3
9. (★★★)直径为1个单位长度的圆,从数轴上的原点向右滚动一周,圆上的一点由原点滚动到$O'$,则点$O'$所表示的数是______.
答案：
【解析】：直径为1个单位长度的圆，其周长为$C = \pi d = \pi×1 = \pi$。当圆从原点向右滚动一周时，圆上的点$O$滚动到$O'$，点$O'$所经过的路程就是圆的周长，所以点$O'$在数轴上所表示的数是$\pi$。
【答案】：$\pi$
【答案】：$\pi$
10. (★★★)大于$-\sqrt {17}而小于\sqrt {11}$的所有整数的和是______.
答案：
【解析】：首先，估算$-\sqrt{17}$和$\sqrt{11}$的取值范围。因为$\sqrt{16} = 4$，$\sqrt{25} = 5$，所以$4 ＜ \sqrt{17} ＜ 5$，进而可得$-5 ＜ -\sqrt{17} ＜ -4$。又因为$\sqrt{9} = 3$，$\sqrt{16} = 4$，所以$3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$。
接下来，找出大于$-\sqrt{17}$而小于$\sqrt{11}$的所有整数。大于$-5$且小于$4$的整数有$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$。
然后，计算这些整数的和：$(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3$。通过分组计算，$(-4) + 0 = -4$，$(-3 + 3) = 0$，$(-2 + 2) = 0$，$(-1 + 1) = 0$，所以总和为$-4$。
【答案】：-4
接下来，找出大于$-\sqrt{17}$而小于$\sqrt{11}$的所有整数。大于$-5$且小于$4$的整数有$-4$，$-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$。
然后，计算这些整数的和：$(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3$。通过分组计算，$(-4) + 0 = -4$，$(-3 + 3) = 0$，$(-2 + 2) = 0$，$(-1 + 1) = 0$，所以总和为$-4$。
【答案】：-4
11. (★★★)比较无理数的大小:(1)$5\sqrt {6}和6\sqrt {5}$;(2)$-\frac {\sqrt {7}}{2}和-\frac {π}{3}$.
答案：
(1)
∵ $5\sqrt{6} = \sqrt{5^2 × 6} = \sqrt{150}$，$6\sqrt{5} = \sqrt{6^2 × 5} = \sqrt{180}$
∵ $\sqrt{150} ＜ \sqrt{180}$
∴ $5\sqrt{6} ＜ 6\sqrt{5}$
(2)
∵ $\sqrt{7} \approx 2.6458$，$\frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1.3229$
∵ $π \approx 3.1416$，$\frac{π}{3} \approx 1.0472$
∵ $1.3229 ＞ 1.0472$
∴ $-\frac{\sqrt{7}}{2} ＜ -\frac{π}{3}$
(1)
∵ $5\sqrt{6} = \sqrt{5^2 × 6} = \sqrt{150}$，$6\sqrt{5} = \sqrt{6^2 × 5} = \sqrt{180}$
∵ $\sqrt{150} ＜ \sqrt{180}$
∴ $5\sqrt{6} ＜ 6\sqrt{5}$
(2)
∵ $\sqrt{7} \approx 2.6458$，$\frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1.3229$
∵ $π \approx 3.1416$，$\frac{π}{3} \approx 1.0472$
∵ $1.3229 ＞ 1.0472$
∴ $-\frac{\sqrt{7}}{2} ＜ -\frac{π}{3}$
12. (★★★)计算.
(1)$3(\sqrt {2}+\sqrt {3})+3(\sqrt {2}-2\sqrt {3})$;
(2)$|2-\sqrt {5}|-|\sqrt {5}-1|$.
(1)$3(\sqrt {2}+\sqrt {3})+3(\sqrt {2}-2\sqrt {3})$;
(2)$|2-\sqrt {5}|-|\sqrt {5}-1|$.
答案：
【解析】：
(1) 原式$=3\sqrt{2}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}-6\sqrt{3}=(3\sqrt{2}+3\sqrt{2})+(3\sqrt{3}-6\sqrt{3})=6\sqrt{2}-3\sqrt{3}$；
(2) 因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$2-\sqrt{5}\lt0$，$\sqrt{5}-1\gt0$，则原式$=(\sqrt{5}-2)-(\sqrt{5}-1)=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}+1=-1$。
【答案】：
(1)$6\sqrt{2}-3\sqrt{3}$；
(2)$-1$
(1) 原式$=3\sqrt{2}+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}-6\sqrt{3}=(3\sqrt{2}+3\sqrt{2})+(3\sqrt{3}-6\sqrt{3})=6\sqrt{2}-3\sqrt{3}$；
(2) 因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$2-\sqrt{5}\lt0$，$\sqrt{5}-1\gt0$，则原式$=(\sqrt{5}-2)-(\sqrt{5}-1)=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}+1=-1$。
【答案】：
(1)$6\sqrt{2}-3\sqrt{3}$；
(2)$-1$
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