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1. (★★)下列方程中,是二元一次方程的是 ( )
A.$ 3x - 2y = 4z $
B.$ 6xy + 9 = 0 $
C.$ \frac{1}{x} + 4y = 6 $
D.$ 4x = \frac{y - 2}{4} $
A.$ 3x - 2y = 4z $
B.$ 6xy + 9 = 0 $
C.$ \frac{1}{x} + 4y = 6 $
D.$ 4x = \frac{y - 2}{4} $
答案：
【解析】：二元一次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
选项A：含有三个未知数x、y、z，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程。
选项B：方程中“6xy”的次数是2（x的次数1加上y的次数1），不符合次数都是1的要求，不是二元一次方程。
选项C：“$\frac{1}{x}$”不是整式（分母含有未知数），所以该方程不是整式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程。
选项D：将方程$4x = \frac{y - 2}{4}$两边同时乘以4，可化为$16x = y - 2$，进一步整理为$16x - y = -2$，此方程含有两个未知数x、y，且含有未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程的定义。
【答案】：D
选项A：含有三个未知数x、y、z，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程。
选项B：方程中“6xy”的次数是2（x的次数1加上y的次数1），不符合次数都是1的要求，不是二元一次方程。
选项C：“$\frac{1}{x}$”不是整式（分母含有未知数），所以该方程不是整式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程。
选项D：将方程$4x = \frac{y - 2}{4}$两边同时乘以4，可化为$16x = y - 2$，进一步整理为$16x - y = -2$，此方程含有两个未知数x、y，且含有未知数的项的次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程的定义。
【答案】：D
2. (★★)下列方程组中,是二元一次方程组的是 ( )
A.$ \begin{cases} x = 3, \\ y = -1 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} y = -1, \\ 5b - 4c = 6 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x^{2} = 9, \\ y = 2x \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x^{2} - y = 4 \end{cases} $
A.$ \begin{cases} x = 3, \\ y = -1 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} y = -1, \\ 5b - 4c = 6 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x^{2} = 9, \\ y = 2x \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x + y = 8, \\ x^{2} - y = 4 \end{cases} $
答案：
【解析】：二元一次方程组是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组。
选项A：含有两个未知数x和y，每个方程都是一次方程，符合二元一次方程组的定义。
选项B：含有三个未知数y、b、c，不符合“二元”的要求。
选项C：方程$x^2 = 9$中未知数x的次数是2，不是一次方程，不符合定义。
选项D：方程$x^2 - y = 4$中未知数x的次数是2，不是一次方程，不符合定义。
【答案】：A
选项A：含有两个未知数x和y，每个方程都是一次方程，符合二元一次方程组的定义。
选项B：含有三个未知数y、b、c，不符合“二元”的要求。
选项C：方程$x^2 = 9$中未知数x的次数是2，不是一次方程，不符合定义。
选项D：方程$x^2 - y = 4$中未知数x的次数是2，不是一次方程，不符合定义。
【答案】：A
3. (★★★)若 $ x^{a + 2} + y^{b - 1} = -2 $ 是关于 $ x,y $ 的二元一次方程,则 $ a,b $ 应满足 ( )
A.$ a = 1,b = 1 $
B.$ a = -1,b = 1 $
C.$ a = -1,b = 2 $
D.$ a = 1,b = 2 $
A.$ a = 1,b = 1 $
B.$ a = -1,b = 1 $
C.$ a = -1,b = 2 $
D.$ a = 1,b = 2 $
答案：
【解析】：因为方程$x^{a + 2} + y^{b - 1} = -2$是关于$x$，$y$的二元一次方程，所以$x$和$y$的次数都必须是$1$。由此可得：$a + 2 = 1$，解得$a = -1$；$b - 1 = 1$，解得$b = 2$。
【答案】：C
【答案】：C
4. (★★★)下列各式中,二元一次方程的个数是 ( )
① $ xy + 2x - y = 7 $;② $ 4x + 1 = x - y $;③ $ \frac{1}{x} + y = 5 $;④ $ x = y $;⑤ $ x^{2} - y^{2} = 2 $;⑥ $ 6x - 2y $;⑦ $ x + y + z = 1 $;⑧ $ y(y - 1) = 2y^{2} - y^{2} + x $.
A.1
B.2
C.3
D.4
① $ xy + 2x - y = 7 $;② $ 4x + 1 = x - y $;③ $ \frac{1}{x} + y = 5 $;④ $ x = y $;⑤ $ x^{2} - y^{2} = 2 $;⑥ $ 6x - 2y $;⑦ $ x + y + z = 1 $;⑧ $ y(y - 1) = 2y^{2} - y^{2} + x $.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
【解析】：二元一次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
① $xy + 2x - y = 7$：$xy$项的次数是2，不是二元一次方程。
② $4x + 1 = x - y$：含有两个未知数$x$、$y$，且未知数的项的次数都是1，是整式方程，是二元一次方程。
③ $\frac{1}{x} + y = 5$：$\frac{1}{x}$是分式，不是整式方程，不是二元一次方程。
④ $x = y$：含有两个未知数$x$、$y$，且未知数的项的次数都是1，是整式方程，是二元一次方程。
⑤ $x^2 - y^2 = 2$：$x^2$和$y^2$项的次数是2，不是二元一次方程。
⑥ $6x - 2y$：不是等式，不是方程。
⑦ $x + y + z = 1$：含有三个未知数，不是二元一次方程。
⑧ $y(y - 1) = 2y^2 - y^2 + x$：化简得$y^2 - y = y^2 + x$，进一步化简为$-y = x$，即$x + y = 0$，含有两个未知数$x$、$y$，且未知数的项的次数都是1，是整式方程，是二元一次方程。
综上，二元一次方程有②④⑧，共3个。
【答案】：C
① $xy + 2x - y = 7$：$xy$项的次数是2，不是二元一次方程。
② $4x + 1 = x - y$：含有两个未知数$x$、$y$，且未知数的项的次数都是1，是整式方程，是二元一次方程。
③ $\frac{1}{x} + y = 5$：$\frac{1}{x}$是分式，不是整式方程，不是二元一次方程。
④ $x = y$：含有两个未知数$x$、$y$，且未知数的项的次数都是1，是整式方程，是二元一次方程。
⑤ $x^2 - y^2 = 2$：$x^2$和$y^2$项的次数是2，不是二元一次方程。
⑥ $6x - 2y$：不是等式，不是方程。
⑦ $x + y + z = 1$：含有三个未知数，不是二元一次方程。
⑧ $y(y - 1) = 2y^2 - y^2 + x$：化简得$y^2 - y = y^2 + x$，进一步化简为$-y = x$，即$x + y = 0$，含有两个未知数$x$、$y$，且未知数的项的次数都是1，是整式方程，是二元一次方程。
综上，二元一次方程有②④⑧，共3个。
【答案】：C
5. (★★★)若 $ |x - 2| + (3y + 2)^{2} = 0 $,则 $ 2x + 3y $ 的值是 ( )
A.-1
B.2
C.-3
D.$ \frac{3}{2} $
A.-1
B.2
C.-3
D.$ \frac{3}{2} $
答案：
解：
∵|x - 2|≥0，(3y + 2)²≥0
|x - 2| + (3y + 2)² = 0
∴x - 2 = 0，3y + 2 = 0
∴x = 2，y = -$\frac{2}{3}$
将x = 2，y = -$\frac{2}{3}$代入2x + 3y中，
∴原式=2×2 + 3×(-$\frac{2}{3}$)
=4 - 2
=2
B
∵|x - 2|≥0，(3y + 2)²≥0
|x - 2| + (3y + 2)² = 0
∴x - 2 = 0，3y + 2 = 0
∴x = 2，y = -$\frac{2}{3}$
将x = 2，y = -$\frac{2}{3}$代入2x + 3y中，
∴原式=2×2 + 3×(-$\frac{2}{3}$)
=4 - 2
=2
B
6. (★★★)某年级学生共有 246 人,其中男生人数 $ y $ 比女生人数 $ x $ 的 2 倍少 2 人,则下面所列的方程组中符合题意的是 ( )
A.$ \begin{cases} x + y = 246, \\ 2y = x - 2 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x + y = 246, \\ 2x = y + 2 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x + y = 246, \\ y = 2x + 2 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x + y = 246, \\ 2y = x + 2 \end{cases} $
A.$ \begin{cases} x + y = 246, \\ 2y = x - 2 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x + y = 246, \\ 2x = y + 2 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x + y = 246, \\ y = 2x + 2 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x + y = 246, \\ 2y = x + 2 \end{cases} $
答案：
【解析】：根据题意，学生总人数为246人，所以女生人数$x$与男生人数$y$的和为246，可列方程$x + y = 246$。又因为男生人数$y$比女生人数$x$的2倍少2人，即$y = 2x - 2$，移项可得$2x = y + 2$。综上，符合题意的方程组是选项B。
【答案】：B
【答案】：B
7. (★★)已知方程 $ 2x + 3y - 4 = 0 $,用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $ 为:$ y = $____;用含 $ y $ 的代数式表示 $ x $ 为:$ x = $____.
答案：
【解析】：用含$x$的代数式表示$y$，首先将方程$2x + 3y - 4 = 0$进行移项，得到$3y = 4 - 2x$，然后两边同时除以$3$，可得$y=\frac{4 - 2x}{3}$。
用含$y$的代数式表示$x$，同样对原方程移项，得到$2x = 4 - 3y$，两边同时除以$2$，则有$x=\frac{4 - 3y}{2}$。
【答案】：$\frac{4 - 2x}{3}$；$\frac{4 - 3y}{2}$
用含$y$的代数式表示$x$，同样对原方程移项，得到$2x = 4 - 3y$，两边同时除以$2$，则有$x=\frac{4 - 3y}{2}$。
【答案】：$\frac{4 - 2x}{3}$；$\frac{4 - 3y}{2}$
8. (★★★)若 $ x^{3m - 3} - 2y^{n - 1} = 5 $ 是二元一次方程,则 $ m = $____,$ n = $____.
答案：
【解析】：因为方程$x^{3m - 3} - 2y^{n - 1} = 5$是二元一次方程，所以含有两个未知数$x$和$y$，且未知数的次数都为$1$。
对于$x$的次数：$3m - 3 = 1$，解得$3m = 4$，$m = \frac{4}{3}$。
对于$y$的次数：$n - 1 = 1$，解得$n = 2$。
【答案】：$\frac{4}{3}$，$2$
对于$x$的次数：$3m - 3 = 1$，解得$3m = 4$，$m = \frac{4}{3}$。
对于$y$的次数：$n - 1 = 1$，解得$n = 2$。
【答案】：$\frac{4}{3}$，$2$
9. (★★★)二元一次方程 $ x + y = 5 $ 的正整数解有____.(写出所有可能的结果)
答案：
【解析】：要求二元一次方程 $x + y = 5$ 的正整数解，即 $x$ 和 $y$ 都为大于 0 的整数。
当 $x = 1$ 时，$y = 5 - 1 = 4$，得到解 $(1, 4)$；
当 $x = 2$ 时，$y = 5 - 2 = 3$，得到解 $(2, 3)$；
当 $x = 3$ 时，$y = 5 - 3 = 2$，得到解 $(3, 2)$；
当 $x = 4$ 时，$y = 5 - 4 = 1$，得到解 $(4, 1)$；
当 $x \geq 5$ 时，$y \leq 0$，不符合正整数要求，所以正整数解共有以上 4 组。
【答案】：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)
当 $x = 1$ 时，$y = 5 - 1 = 4$，得到解 $(1, 4)$；
当 $x = 2$ 时，$y = 5 - 2 = 3$，得到解 $(2, 3)$；
当 $x = 3$ 时，$y = 5 - 3 = 2$，得到解 $(3, 2)$；
当 $x = 4$ 时，$y = 5 - 4 = 1$，得到解 $(4, 1)$；
当 $x \geq 5$ 时，$y \leq 0$，不符合正整数要求，所以正整数解共有以上 4 组。
【答案】：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)
10. (★★★)若方程组 $ \begin{cases} 4x - 3y = k, \\ 2x + 3y = 5 \end{cases} $ 的解 $ x $ 与 $ y $ 的值相等,则 $ k = $____.
答案：
解：
∵方程组的解x与y的值相等，
∴x=y，
将x=y代入2x+3y=5中，
得2x+3x=5，
5x=5，
x=1，
∴y=1，
将x=1，y=1代入4x-3y=k中，
k=4×1-3×1=1，
故答案为1。
∵方程组的解x与y的值相等，
∴x=y，
将x=y代入2x+3y=5中，
得2x+3x=5，
5x=5，
x=1，
∴y=1，
将x=1，y=1代入4x-3y=k中，
k=4×1-3×1=1，
故答案为1。
11. (★★)请写出以 $ \begin{cases} x = 5, \\ y = 7 \end{cases} $ 为解的一个二元一次方程:____.
答案：
【解析】：二元一次方程的一般形式为 $ax + by = c$（$a$、$b$不同时为0）。已知方程的解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = 7 \end{cases}$，我们可以将$x$和$y$的值代入方程中，随意确定$a$和$b$的值，然后求出$c$。例如，令$a = 1$，$b = 1$，则$c = x + y = 5 + 7 = 12$，所以方程$x + y = 12$就是一个满足条件的二元一次方程。（答案不唯一）
【答案】：$x + y = 12$
【答案】：$x + y = 12$
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