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1.计算：
(1)$\sqrt{24}\div 2\sqrt{\frac{6}{5}}\times\sqrt{\frac{1}{5}}$；
(2)$(\sqrt{3})^{2}-\sqrt{(-4)^{2}}+6\sqrt{(-\frac{2}{3})^{2}}+(-1)^{0}$.
(1)$\sqrt{24}\div 2\sqrt{\frac{6}{5}}\times\sqrt{\frac{1}{5}}$；
(2)$(\sqrt{3})^{2}-\sqrt{(-4)^{2}}+6\sqrt{(-\frac{2}{3})^{2}}+(-1)^{0}$.
答案：
1.
(1)解:原式$=\sqrt{24}\times\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{6}}\times\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{2}\sqrt{24\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{5}} = 1$.
(2)解:原式$=3 - 4 + 6\times\frac{2}{3}+1 = 4$.
(1)解:原式$=\sqrt{24}\times\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5}{6}}\times\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{2}\sqrt{24\times\frac{5}{6}\times\frac{1}{5}} = 1$.
(2)解:原式$=3 - 4 + 6\times\frac{2}{3}+1 = 4$.
2.先化简，再求值.
$(\frac{a}{a + 2}+\frac{1}{a^{2}-4})\div\frac{a - 1}{a + 2}+\frac{1}{a - 2}$，其中$a = 2+\sqrt{2}$.
$(\frac{a}{a + 2}+\frac{1}{a^{2}-4})\div\frac{a - 1}{a + 2}+\frac{1}{a - 2}$，其中$a = 2+\sqrt{2}$.
答案：
2. 解:原式$=\frac{a(a - 2)+1}{(a + 2)(a - 2)}\cdot\frac{a + 2}{a - 1}+\frac{1}{a - 2}=\frac{a^{2}-2a + 1}{a - 2}\cdot\frac{1}{a - 1}+\frac{1}{a - 2}=\frac{a - 1}{a - 2}+\frac{1}{a - 2}=\frac{a}{a - 2}$.当$a = 2+\sqrt{2}$时,原式$=\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}-2}=\sqrt{2}+1$.
3.已知$a + b = - 6$，$ab = 3$，求$\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}$的值.
答案：
3. 解:$\because a + b=-6$,$ab = 3$,$\therefore a\lt0$,$b\lt0$,$\therefore\sqrt{\frac{b}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{b^{2}}{ab}}+\sqrt{\frac{a^{2}}{ab}}=-b\sqrt{\frac{1}{ab}}-a\sqrt{\frac{1}{ab}}=-(a + b)\sqrt{\frac{1}{ab}}$,$\because a + b=-6$,$ab = 3$,$\therefore$原式$=-(-6)\sqrt{\frac{1}{3}}=6\times\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.
4.已知$x = 2+\sqrt{3}$，$y = 2-\sqrt{3}$，求下列各式的值：
(1)$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$；
(2)$x^{2}+y^{2}$.
(1)$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$；
(2)$x^{2}+y^{2}$.
答案：
4. 解:因为$x = 2+\sqrt{3}$,$y = 2-\sqrt{3}$,所以$x + y = 4$,$xy = 1$.
(1)$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x + y}{xy}=\frac{4}{1}=4$.
(2)$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-2xy=4^{2}-2\times1 = 14$.
(1)$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x + y}{xy}=\frac{4}{1}=4$.
(2)$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-2xy=4^{2}-2\times1 = 14$.
5.小明查阅资料时发现如下的等式：
第1个等式：$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}=1 + 1-\frac{1}{2}$；
第2个等式：$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
第3个等式：$\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
请你根据上述等式规律，完成下列各题.
(1)第4个等式为：__________________；
(2)根据规律，请你用含$n$（$n$为正整数）的式子表示出第$n$个等式，并说明理由.
第1个等式：$\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}=1 + 1-\frac{1}{2}$；
第2个等式：$\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
第3个等式：$\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$；
请你根据上述等式规律，完成下列各题.
(1)第4个等式为：__________________；
(2)根据规律，请你用含$n$（$n$为正整数）的式子表示出第$n$个等式，并说明理由.
答案：
5.
(1)$\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
(2)解:第$n$个等式:$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$,理由如下:$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}}=\sqrt{\frac{[n(n + 1)+1]^{2}}{[n^{2}(n + 1)^{2}]}}=\frac{n(n + 1)+1}{n(n + 1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$.
(1)$\sqrt{1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$
(2)解:第$n$个等式:$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$,理由如下:$\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n + 1)^{2}}}=\sqrt{\frac{[n(n + 1)+1]^{2}}{[n^{2}(n + 1)^{2}]}}=\frac{n(n + 1)+1}{n(n + 1)}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$.
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