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一、选择题(每小题6分,共12分)
1. 如图,点E,F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上,BE = DF,则四边形AECF是 ( )
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
1. 如图,点E,F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上,BE = DF,则四边形AECF是 ( )
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 菱形 D. 正方形
答案：
A
2. 如图,矩形纸片ABCD中,AB = 4,BC = 6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于 ( )
A. $\frac{3}{5}$ B. $\frac{5}{3}$ C. $\frac{7}{3}$ D. $\frac{5}{4}$
A. $\frac{3}{5}$ B. $\frac{5}{3}$ C. $\frac{7}{3}$ D. $\frac{5}{4}$
答案：
B
3. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD = 60°,AB = 2,则AC的长为____.
答案：
4
4. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E在线段BO上,连接AE,若CD = 2BE,∠DAE = ∠DEA,EO = 1,则线段AE的长为____.
答案：
$2\sqrt{2}$
5. (12分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且DE//AC,AE//BD,连接OE. 求证:OE⊥AD.
答案：
证明：$\because DE// AC,AE// BD,\therefore$ 四边形 $AODE$ 为平行四边形. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形，$\therefore OA = OD$. $\therefore$ 平行四边形 $AODE$ 为菱形. $\therefore OE\perp AD$.
6. (14分)如图,E是正方形ABCD的边BC上的动点,∠AEF = 90°,且EF = AE,FH⊥BH.
(1)求证:BE = CH;(6分)
(2)连接DF,若AB = 3,BE = x,用含x的代数式表示DF长.(7分)
(1)求证:BE = CH;(6分)
(2)连接DF,若AB = 3,BE = x,用含x的代数式表示DF长.(7分)
答案：
(1)证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，$\therefore\angle B = 90^{\circ},AB = BC$. $\because FH\perp BH,\therefore\angle H = 90^{\circ}=\angle B,\angle EFH = 90^{\circ}-\angle FEH$. $\because\angle AEF = 90^{\circ},\therefore\angle AEB = 90^{\circ}-\angle FEH$. $\therefore\angle AEB=\angle EFH$. 在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle EHF$ 中，$\begin{cases}\angle B=\angle H,\\\angle AEB=\angle EFH,\\AE = EF,\end{cases}$ $\therefore\triangle ABE\cong\triangle EHF(AAS),\therefore AB = EH = BC,BE = FH$. $\because EH = EC + CH,BC = EC + BE$，即 $CH = BE$.
(2)解：过点 $F$ 作 $FP\perp CD$ 于点 $P$，则 $\angle FPC = 90^{\circ}$. $\because\angle H=\angle DCH=\angle FPC = 90^{\circ},\therefore$ 四边形 $PCHF$ 是矩形. 由
(1)知 $BE = FH = CH,\therefore$ 四边形 $PCHF$ 是正方形. $\therefore PF = CP = CH = BE = x$. $\because$ 在正方形 $ABCD$ 中，$DC = AB = 3,\therefore DP = DC - CP = 3 - x$. $\therefore$ 在 $Rt\triangle DPF$ 中，$DF=\sqrt{DP^{2}+PF^{2}}=\sqrt{(3 - x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{2x^{2}-6x + 9}$.
(1)证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形，$\therefore\angle B = 90^{\circ},AB = BC$. $\because FH\perp BH,\therefore\angle H = 90^{\circ}=\angle B,\angle EFH = 90^{\circ}-\angle FEH$. $\because\angle AEF = 90^{\circ},\therefore\angle AEB = 90^{\circ}-\angle FEH$. $\therefore\angle AEB=\angle EFH$. 在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle EHF$ 中，$\begin{cases}\angle B=\angle H,\\\angle AEB=\angle EFH,\\AE = EF,\end{cases}$ $\therefore\triangle ABE\cong\triangle EHF(AAS),\therefore AB = EH = BC,BE = FH$. $\because EH = EC + CH,BC = EC + BE$，即 $CH = BE$.
(2)解：过点 $F$ 作 $FP\perp CD$ 于点 $P$，则 $\angle FPC = 90^{\circ}$. $\because\angle H=\angle DCH=\angle FPC = 90^{\circ},\therefore$ 四边形 $PCHF$ 是矩形. 由
(1)知 $BE = FH = CH,\therefore$ 四边形 $PCHF$ 是正方形. $\therefore PF = CP = CH = BE = x$. $\because$ 在正方形 $ABCD$ 中，$DC = AB = 3,\therefore DP = DC - CP = 3 - x$. $\therefore$ 在 $Rt\triangle DPF$ 中，$DF=\sqrt{DP^{2}+PF^{2}}=\sqrt{(3 - x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{2x^{2}-6x + 9}$.
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