《2025年53精准练八年级数学下册华师大版山西专版》

12. 下列计算正确的是（ ）
A. $(\frac{b^{3}}{2a})^{2}=\frac{b^{5}}{2a^{2}}$
B. $(-\frac{3b}{2a})^{2}=\frac{-9b^{2}}{4a^{2}}$
C. $(\frac{2y}{-3x})^{3}=\frac{8y^{3}}{-27x^{3}}$
D. $(\frac{3x}{x - a})^{2}=\frac{9x^{2}}{x^{2}-a^{2}}$

答案： C

13. [2023吕梁期末]计算：$(\frac{a - b}{ab})^{2}\cdot(\frac{-a}{b - a})^{3}\cdot(a^{2}-b^{2})$.

答案： 解：$(\frac{a - b}{ab})^{2}\cdot(\frac{-a}{b - a})^{3}\cdot(a^{2}-b^{2})$
$=\frac{(a - b)^{2}}{a^{2}b^{2}}\cdot\frac{a^{3}}{(a - b)^{3}}\cdot(a + b)(a - b)$
$=\frac{a^{2}+ab}{b^{2}}$.

14. 已知$\frac{m}{n}=-\frac{2}{3}$，求$[(\frac{m^{2}-n^{2}}{mn})^{2}\div[(m + n)\cdot(\frac{m - n}{m})^{3}]\div\frac{m}{n^{2}}$的值.

答案： 解：原式$=\frac{(m - n)^{2}(m + n)^{2}}{m^{2}n^{2}}\cdot\frac{m^{3}}{(m + n)(m - n)^{3}}\cdot\frac{n^{2}}{m}=\frac{m + n}{m - n}$，
由$\frac{m}{n}=-\frac{2}{3}$得$m = -\frac{2}{3}n$，
$\therefore$原式$=\frac{-\frac{2}{3}n + n}{-\frac{2}{3}n - n}=-\frac{1}{5}$.

15. [2023临汾期末]小杰同学在做“先化简，再求值：$\frac{(x - y)^{2}}{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{x^{2}+xy}{x - y}\div x^{3}$，其中$x = -3$”这道题时，错将$x = -3$看成$x = 3$，但是他的答案却是正确的，请你说明其中的原因.

答案： 解：原式$=\frac{(x - y)^{2}}{(x + y)(x - y)}\cdot\frac{x(x + y)}{x - y}\cdot\frac{1}{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}$，
当$x = -3$时，$\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{9}$，
当$x = 3$时，$\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{9}$，
$\therefore$错将$x = -3$看成$x = 3$仍然能得出正确答案.

16. [2024淮安期末]阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值.
解：由$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$，知$x\neq0$，
所以$\frac{x^{2}+1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$，
所以$\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=3^{2}-2=7$，
故$\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$的值为$\frac{1}{7}$.
该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用此方法解下面的题目：
已知$\frac{x}{x^{2}-3x + 1}=\frac{1}{5}$.
(1)求$x+\frac{1}{x}$的值；
(2)求$\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的值.

答案： 解：易知$x\neq0$，
(1) $\because\frac{x}{x^{2}-3x + 1}=\frac{1}{5}$，
$\therefore\frac{x^{2}-3x + 1}{x}=5$，
$\therefore x - 3+\frac{1}{x}=5$，
$\therefore x+\frac{1}{x}=8$.
(2) $\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-1$，
由
(1)知$x+\frac{1}{x}=8$，
$\therefore(x+\frac{1}{x})^{2}-1=8^{2}-1=63$，
$\therefore\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}=\frac{1}{63}$.