《2025年53精准练八年级数学下册华师大版山西专版》

6. 计算$\frac{m}{m - 1}+\frac{1}{1 - m}$的结果是（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2

答案： A

7. [2023忻州原平市模拟]化简$\frac{x^{2} + 3x}{x^{2} - 9}-\frac{x - 5}{x - 3}$的结果是（ ）
A. $\frac{2x + 5}{x - 3}$
B. $\frac{5}{x - 3}$
C. $\frac{2x + 5}{x + 3}$
D. $\frac{2x}{x - 3}$

答案： B

8. [2023重庆合川区期末]分式$\frac{4xy}{2y^{2}}$约分所得最简结果正确的是（ ）
A. $\frac{2xy}{y^{2}}$
B. $\frac{x}{2y}$
C. $\frac{2x}{y}$
D. $\frac{2}{y}$

答案： C

9. [2022大同平城区期末]化简：$(\frac{a^{2}}{a + 1}-a + 1)\div\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2a + 1}$.

答案： 解:原式=$\frac{1}{a - 1}$.

10. 先化简，再求值：
(1)$(\frac{2}{m - n}-\frac{1}{m + n})\div\frac{mn + 3n^{2}}{m^{3} - mn^{2}}$，其中$m = -1$，$n = \frac{1}{2}$；
(2)$(\frac{a^{2} - 2a}{a^{2} - 4a + 4}-\frac{3}{a - 2})\div\frac{3 - a}{4 - a^{2}}$，从2、3、4中取一个合适的数作为a的值.

答案： 解:
(1)原式=$\frac{m}{n}$,把$m = - 1$,$n = \frac{1}{2}$代入,得原式=-2.
(2)原式=$a + 2$,2、3、4中2、3均不符合题意,当$a = 4$时,原式=6.

11. 设a，b，c为两两不同的数，称$P_{n}=\frac{a^{n}}{(a - b)(a - c)}+\frac{b^{n}}{(b - c)(b - a)}+\frac{c^{n}}{(c - a)(c - b)}(n = 0,1,2,3)$为欧拉分式.
(1)写出$P_{0}$对应的表达式；
(2)化简$P_{1}$对应的表达式.

答案： 解:
(1)由题意得,$P_{0}=\frac{a^{0}}{(a - b)(a - c)}+\frac{b^{0}}{(b - c)(b - a)}+\frac{c^{0}}{(c - a)(c - b)}=\frac{1}{(a - b)(a - c)}+\frac{1}{(b - c)(b - a)}+\frac{1}{(c - a)(c - b)}$.
(2)由题意得,$P_{1}=\frac{a^{1}}{(a - b)(a - c)}+\frac{b^{1}}{(b - c)(b - a)}+\frac{c^{1}}{(c - a)(c - b)}=\frac{a}{(a - b)(a - c)}+\frac{b}{(b - c)(b - a)}+\frac{c}{(c - a)(c - b)}=\frac{a(b - c)-b(a - c)+c(a - b)}{(a - b)(b - c)(a - c)}=\frac{0}{(a - b)(b - c)(a - c)} = 0$.

12. [2023东莞期末]解分式方程$\frac{1}{x - 2}-2=\frac{1 - x}{2 - x}$时，去分母后正确的是（ ）
A. $1 - 2(x - 2)=1 + x$
B. $1 - 2(x - 2)=-1 + x$
C. $2(x - 2)=-1 - x$
D. $-1 + 2(2 - x)=1 + x$

答案： B

13. [2023天津红桥区期末]分式方程$\frac{3}{2x - 2}-2=\frac{x}{x - 1}$的解是（ ）
A. $x = -\frac{1}{6}$
B. $x = \frac{1}{4}$
C. $x = \frac{7}{6}$
D. $x = \frac{5}{4}$

答案： C

14. [2023西宁期末]关于x的分式方程$\frac{x}{x - 3}+1=\frac{m}{3 - x}$无解，则$m =$__________.

答案： -3

15. [2023重庆奉节县期末]若关于x的不等式组$\begin{cases}\frac{x + 2}{3}＞\frac{x}{2}+1\\4x + a ＜ x + 1\end{cases}$的解集为$x ＜ -2$，且关于y的分式方程$\frac{a + 2}{y - 1}+\frac{y + 2}{1 - y}=2$的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________.

答案： 26

16. 解分式方程：
(1)$\frac{3}{x - 1}-\frac{2}{x}=0$；
(2)$\frac{3}{x^{2} - 9}-\frac{2}{x - 3}=\frac{1}{x + 3}$.

答案： 解:
(1)$x = - 2$.
(2)$x = 0$.

17. 甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100 000元，乙公司共捐款140 000元. 下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少30
乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的$\frac{7}{6}$倍
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种物资，A种物资每箱15 000元，B种物资每箱12 000元. 若购买B种物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来.（注：A、B两种物资均需购买，并按整箱配送）

答案： 解:
(1)设甲公司有$x$人,则乙公司有$(x + 30)$人,依题意得$\frac{100000}{x}\times\frac{7}{6}=\frac{140000}{x + 30}$,解得$x = 150$,经检验,$x = 150$是原方程的解,且符合题意,$\therefore x + 30 = 180$.答:甲公司有150人,乙公司有180人.
(2)设购买$A$种物资$m$箱,购买$B$种物资$n$箱,依题意,得$15000m + 12000n = 100000 + 140000$,$\therefore m = 16-\frac{4}{5}n$,又$\because n\geq10$,且$m$,$n$均为正整数,$\therefore\begin{cases}m = 8\\n = 10\end{cases}$或$\begin{cases}m = 4\\n = 15\end{cases}$,$\therefore$有2种购买方案,方案1:购买8箱$A$种物资,10箱$B$种物资;方案2:购买4箱$A$种物资,15箱$B$种物资.

18. [阅读与思考]阅读：
若两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”. 如分式$A=\frac{x}{x - 1}$，$B=\frac{-1}{x - 1}$，$A + B=\frac{x - 1}{x - 1}=1$，则A与B互为“关联分式”，“关联值”$k = 1$.
(1)若分式$A=\frac{x - 4}{x - 3}$，$B=\frac{x - 2}{x - 3}$，判断A与B是否互为“关联分式”. 若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k.
(2)已知分式$C=\frac{2x - 1}{x - 3}$，$D=\frac{M}{x^{2}-9}$，C与D互为“关联分式”，且“关联值”$k = 2$.
①$M =$__________(用含x的式子表示)；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于__________.
(3)若分式$E=\frac{(x - a)(x - b)}{x - 4}$，$F=\frac{(x - c)(x - 5)}{4 - x}$(a，b为整数且$c = a + b$)，E是F的“关联分式”，且“关联值”$k = 5$，求c的值.

答案： 18.解:
(1)A与B互为“关联分式”。
∵分式A=$\frac{x−4}{x−3}$,B=$\frac{x−2}{x−3}$,
∴A+B=$\frac{x−4}{x−3}$+$\frac{x−2}{x−3}$=$\frac{2x−6}{x−3}$=$\frac{2(x−3)}{x−3}$=2,
∴A与B互为“关联分式”，“关联值”k=2。
(2)①−5x−15。
详解:
∵分式C=$\frac{2x−1}{x−3}$,D=$\frac{M}{x²−9}$,
C与D互为“关联分式”，且“关联值”k=2,
∴C+D=$\frac{2x−1}{x−3}$+$\frac{M}{x²−9}$=2,
$\frac{(2x−1)(x+3)}{x²−9}$+$\frac{M}{x²−9}$=2,
$\frac{2x²+6x−x−3+M}{x²−9}$=2,
2x²+5x + M - 3 = 2x²−18,
∴M = -5x - 15。
②2
详解:D=$\frac{−5x−15}{x²−9}$=$\frac{−5(x+3)}{(x+3)(x−3)}$=$\frac{−5}{x−3}$,
∵分式D的值为正整数，
∴x−3是−5的因数，且x−3＜0,即x−3=−1或−5,
∴x=2或−2,
∵x为正整数，
∴x=2。
(3)
∵E是F的“关联分式”，且“关联值”k=5,
∴E+F=$\frac{(x−a)(x−b)}{x−4}$+$\frac{(x−c)(x−5)}{4−x}$=5,
$\frac{x²−bx−ax+ab}{x−4}$−$\frac{x²−5x−cx+5c}{x−4}$=5,
$\frac{5x+cx−bx−ax+ab−5c}{x−4}$=5,
(5 + c - a - b)x + ab - 5c = 5x - 20,
∵c = a + b,
∴5x+ab−5(a+b)=5x−20,
∴ab−5(a+b)=−20,
ab−5a=5b−20,
a(b−5)=5b−20,显然b≠5,
∴a=$\frac{5b−25+5}{b−5}$=$\frac{5(b−5)+5}{b−5}$=5+$\frac{5}{b−5}$,
∵a,b为整数，
∴b−5一定是5的因数，
∴b−5=−1或−5或1或5,
∴b=4或0或6或10。
当b=4时,a=0,c=4;
当b=0时,a=4,c=4;
当b=6时,a=10,c=16;
当b=10时,a=6,c=16。
综上，c的值为4或16。