《2025年53精准练八年级数学下册华师大版山西专版》

8. 在平面直角坐标系中，A(-3, 0)，B(3, 0)，C(0, 4)，找一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为____.

答案： (6, 4)或(-6, 4)或(0, -4)

9. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，且AD = 4 cm，BC = 9 cm. 动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以1 cm/s的速度向终点A运动，点Q以2 cm/s的速度向终点C运动，当运动时间为________s时，四边形CDPQ是平行四边形.

答案： 3

10. 如图，已知四边形ABCD，AB = CD，AC = BD，过点A作AE//CD交CB的延长线于点E.
求证：(1) △ABC≌△DCB；
(2) 四边形AECD为平行四边形.

答案： 证明：
(1)
∵AB = DC，AC = DB，BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
(2)
∵△ABC≌△DCB，
∴∠ABC = ∠DCB，
∵AE//DC，
∴∠E + ∠DCB = 180°，
∵∠ABE + ∠ABC = 180°，
∴∠E = ∠ABE，
∴AE = AB，
∵AB = DC，
∴AE = DC，
又
∵AE//DC，
∴四边形AECD为平行四边形.

11. 如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF. 证明：四边形DAEF是平行四边形.

答案： 证明：
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF + ∠FBA = ∠ABC + ∠ABF = 60°，
∴∠DBF = ∠ABC.
又
∵BD = BA，BF = BC，
∴△ABC≌△DBF，
∴AC = DF = AE，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB = EF = AD，
∴四边形DAEF是平行四边形.

12. [推理能力]如图，已知△ABC，∠BAC = 90°，∠B = 45°，BC = 10，过点A作AD//BC，且点D在点A的右侧. 点P从点A出发沿AD以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE = 2，连结PE，设点P的运动时间为t秒.
(1) 若PE⊥BC，求BQ的长.
(2) 请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

答案： 解：
(1)如图，作AM⊥BC于M，设AC交PE于N.
由题意得△ABC为等腰直角三角形，
∴BM = CM = 5，
∴AM = 5，
∵AD//BC，
∴∠PAN = ∠C = 45°，
∵PE⊥BC，
∴PE = AM = 5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN = AP = t，CE = NE = 5 - t，
易知CE = CQ - QE = 2t - 2，
∴5 - t = 2t - 2，
解得t = $\frac{7}{3}$，
∴BQ = BC - CQ = 10 - 2×$\frac{7}{3}$ = $\frac{16}{3}$.
(2)存在.若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP = BE，
∴t = 10 - 2t + 2或t = 2t - 2 - 10，
解得t = 4或t = 12，
∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，此时t的值为4或12.