《2025年53精准练八年级数学下册华师大版山西专版》

11. [2023烟台模拟]已知非零实数a，b满足$b=\frac{a}{2a + 1}$，则$\frac{b - a + 3ab}{2ab}$的值等于 ( )
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{2}$
D. 0

答案： B

12. 把下列各式通分：
(1)$\frac{a}{2b^{2}}$，$\frac{1}{-3a^{2}}$，$\frac{5}{6abc}$;
(2)$\frac{a}{x^{2}-y^{2}}$，$\frac{b}{x^{2}+xy}$.

答案： 解:
(1)最简公分母为$6a^{2}b^{2}c$,$\frac{a}{2b^{2}}=\frac{3a^{3}c}{6a^{2}b^{2}c}$,$\frac{1}{-3a^{2}}=-\frac{2b^{2}c}{6a^{2}b^{2}c}$,$\frac{5}{6abc}=\frac{5ab}{6a^{2}b^{2}c}$.
(2)最简公分母为$x(x - y)(x + y)$,$\frac{a}{x^{2}-y^{2}}=\frac{ax}{x(x - y)(x + y)}$,$\frac{b}{x^{2}+xy}=\frac{b(x - y)}{x(x - y)(x + y)}$.

13. 不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项系数都化成整数：
(1)$\frac{\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b}{\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b}$; (2)$\frac{0.5x - 0.3y}{0.2x + y}$.

答案： 解:
(1)$\frac{\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b}{\frac{1}{3}a+\frac{1}{2}b}=\frac{\frac{3a - 2b}{6}}{\frac{2a + 3b}{6}}=\frac{3a - 2b}{2a + 3b}$.
(2)$\frac{0.5x - 0.3y}{0.2x + y}=\frac{\frac{5x - 3y}{10}}{\frac{x + 5y}{5}}=\frac{5x - 3y}{2x + 10y}$.

14. 先化简，再求值：
(1)$\frac{2x - 6y}{x^{2}-9y^{2}}$，其中$x + 3y=-\frac{1}{3}$;
(2)[2024北京]已知$a - b - 1 = 0$，求代数式$\frac{3(a - 2b)+3b}{a^{2}-2ab + b^{2}}$的值.

答案： 解:
(1)原式=$\frac{2(x - 3y)}{(x - 3y)(x + 3y)}=\frac{2}{x + 3y}$;
　
∵$x + 3y=-\frac{1}{3}$,
　
∴原式 = -6.
(2)
∵$a - b - 1 = 0$,
　
∴$a - b = 1$,
　
∴原式=$\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^{2}}=\frac{3a - 3b}{(a - b)^{2}}=\frac{3(a - b)}{(a - b)^{2}}=\frac{3}{a - b}=\frac{3}{1}=3$.

15. [2023阳泉期末改编]若a，b，c，d均不为0，且式子$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立，则称a，b，c，d成比例. 如式子$\frac{2}{4}=\frac{5}{10}$成立，故2，4，5，10这四个数成比例.
(1)当a，b，c，d成比例，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成立时，分式$\frac{a}{c}$与分式$\frac{b}{d}$的值相等吗？请举例说明.
(2)阅读下面的推理过程，解决相应问题：
∵a，b，c，d均不为0，
∴对于式子$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，①
两边同乘bd，得$ad = bc$，②
在式子$ad = bc$的两边都除以cd，得$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$. ③
问题1：从①式变形到②式的依据是__________________________.
问题2：若a，b，c，d成比例，且$\frac{a}{b}=2$，则$\frac{a + b}{b}=$________，$\frac{2c + 2d}{6d}=$________.

答案： 解:
(1)分式$\frac{a}{c}$与分式$\frac{b}{d}$的值相等.如当$a = 2$,$b = 6$,$c = 3$,$d = 9$时,满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,此时$\frac{a}{c}=\frac{2}{3}$,$\frac{b}{d}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$,有$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.
(2)等式的基本性质;3;1.