《2025年53精准练八年级数学下册华师大版山西专版》

10. [2024辽宁]如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，CE//BD，若AC = 3，BD = 5，则四边形OCED的周长为 （ ）

A. 4
B. 6
C. 8
D. 16

答案： C

11. [2024台州一模]如图，□ABCD中，AB = 3 cm，BC = 5 cm，AB⊥AC，则BD的长为______cm.

答案： $2\sqrt{13}$

12. 如图，已知□ABCD，点E是CD边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结BE，BE⊥AF.
(1)求证：AE平分∠DAB；
(2)若AB = 5，BE = 3，求□ABCD的面积.

答案： 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$\angle DAE = \angle EFC$，
∵点E是CD边的中点，
∴$DE = CE$.
在$\triangle ADE$和$\triangle FCE$中，
$\begin{cases}\angle DAE = \angle EFC,\\\angle DEA = \angle FEC,\\DE = CE,\end{cases}$
∴$\triangle ADE\cong\triangle FCE$，
∴$AE = FE$，
∵$BE\perp AF$，
∴$BA = BF$，
∴$\angle BAF = \angle BFA$，
∵$\angle DAE = \angle BFA$，
∴$\angle DAE = \angle BAF$，
∴AE平分$\angle DAB$.
(2)在$Rt\triangle ABE$中，$AB = 5$，$BE = 3$，
则$AE = 4$，
由
(1)知$\triangle ADE\cong\triangle FCE$，
∴$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle FCE}$，
∴$S_{\square ABCD}=S_{\triangle ABF}=2S_{\triangle ABE}$
$=2\times\frac{1}{2}\times AE\cdot BE = 4\times3 = 12$.

13. [2024临汾侯马期末改编]阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务.
小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形四条边长的平方和等于两条对角线长的平方和，即：如图1，在□ABCD中，AB² + BC² + CD² + AD² = AC² + BD².
小明在老师的提示下，对该性质进行了证明.
证明：如图1，过点A，D作BC的垂线，分别与BC交于点E，与BC的延长线交于点F. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD（依据），AD//BC，AD = BC.
设AB = CD = a，AD = BC = b，BE = c，则CE = b - c.
∴AB² + BC² + CD² + AD² = 2a² + 2b².
在Rt△ABE中，AE² + BE² = AB²，
即AE² = a² - c².
在Rt△ACE中，AC² = AE² + CE² = a² - c² + (b - c)² = a² + b² - 2bc. ……
任务：
(1)证明过程中的“依据”是指______________；
(2)请你补全小明的证明过程；
(3)如图2，在□ABCD中，AB = $\frac{4}{3}$BC，AC = 6，BD = 8，则□ABCD的周长为________.

答案： 解：
(1)平行四边形的对边相等.
(2)证明过程补充如下：
易得$EF = AD = BC = b$，$AE = DF$，
在$Rt\triangle BDF$中，$BD^{2}=DF^{2}+BF^{2}=$
$a^{2}-c^{2}+(b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+2bc$，
∴$AC^{2}+BD^{2}=2a^{2}+2b^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+AD^{2}$.
(3)详解：设$AB = 4x$，则$BC = 3x$，
由
(2)得$2(4x)^{2}+2(3x)^{2}=6^{2}+8^{2}$，
解得$x=\sqrt{2}$或$x = -\sqrt{2}$(不合题意，舍去)，
∴$\square ABCD$的周长为$8x + 6x = 14x = 14\sqrt{2}$.