《2025年53精准练八年级数学下册华师大版山西专版》

10. [2023阳泉期末]已知$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=3$，则式子$\frac{xy - x + y}{2x - 2y + 3xy}$的值是______.

答案： -$\frac{4}{3}$

11. [2024合肥期末]一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距$u$，像距$v$和凸透镜的焦距$f$满足关系式：$\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{1}{f}$，那么$f =$___________(用含$u$，$v$的式子表示)；若$f = 6$厘米，$v = 8$厘米，则物距$u =$________厘米.

答案： $\frac{uv}{u + v}$;24

12. 计算：
(1)$\frac{2ab}{a^{2}-b^{2}}-\frac{b}{a + b}$；
(2)$\frac{2x^{2}}{x + y}-x + y$；
(3)$\frac{x}{x + 1}-\frac{3x}{2(x + 1)}-1$；
(4)$\frac{a + 1}{a - 1}+1+\frac{2a}{a^{2}-1}$；
(5)$\frac{4ab}{2a + b}+\frac{4a^{2}+b^{2}}{2a + b}-2a + b$.

答案： 解:
(1)原式 = $\frac{2ab}{(a + b)(a - b)}$ - $\frac{b(a - b)}{(a + b)(a - b)}$ = $\frac{2ab - ab + b^{2}}{(a + b)(a - b)}$ = $\frac{b(a + b)}{(a + b)(a - b)}$ = $\frac{b}{a - b}$.
(2)原式 = $\frac{2x^{2} - (x - y)(x + y)}{x + y}$ = $\frac{2x^{2} - x^{2} + y^{2}}{x + y}$ = $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$.
(3)原式 = $\frac{2x}{2(x + 1)}$ - $\frac{3x}{2(x + 1)}$ - $\frac{2x + 2}{2(x + 1)}$ = $\frac{2x - 3x - 2x - 2}{2(x + 1)}$ = $\frac{-3x - 2}{2(x + 1)}$.
(4)原式 = $\frac{a + 1}{a - 1}$ + $\frac{a - 1}{a - 1}$ + $\frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}$ = $\frac{2a}{a - 1}$ + $\frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}$ = $\frac{2a(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)}$ + $\frac{2a}{(a + 1)(a - 1)}$ = $\frac{2a(a + 2)}{(a - 1)(a + 1)}$.
(5)原式 = $\frac{4ab + 4a^{2} + b^{2}}{2a + b}$ - 2a + b = $\frac{(2a + b)^{2}}{2a + b}$ - 2a + b = 2a + b - 2a + b = 2b.

13. [2023运城期末]先化简，再求值：$\frac{y}{y + x}+\frac{x}{y - x}+\frac{2xy}{y^{2}-x^{2}}$，其中$x = 2$，$y = -3$.

答案： 解:原式 = $\frac{y}{y + x}$ + $\frac{x}{y - x}$ + $\frac{2xy}{(y + x)(y - x)}$ = $\frac{y(y - x) + x(y + x) + 2xy}{(y + x)(y - x)}$ = $\frac{x^{2} + 2xy + y^{2}}{(y + x)(y - x)}$ = $\frac{(y + x)^{2}}{(y + x)(y - x)}$ = $\frac{y + x}{y - x}$.
当x = 2,y = -3时,原式 = $\frac{-3 + 2}{-3 - 2}$ = $\frac{1}{5}$.

14. 观察下列各式：
$\frac{1}{2\times3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4\times5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$.
(1)填空：$\frac{1}{a(a + 1)}=$__________；
(2)计算：$\frac{1}{3\times4}+\frac{1}{4\times5}+\frac{1}{5\times6}+\cdots+\frac{1}{2023\times2024}$.

答案： 解:
(1)$\frac{1}{a}$ - $\frac{1}{a + 1}$.
(2)原式 = $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{5}$ + … + $\frac{1}{2023}$ - $\frac{1}{2024}$ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{1}{2024}$ = $\frac{2021}{6072}$.