《2025年53精准练八年级数学下册华师大版山西专版》

9. 已知$\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}\div M=\frac{1}{x - y}$，则$M$等于（ ）
A. $\frac{2x}{x + y}$
B. $\frac{x + y}{2x}$
C. $\frac{2x}{x - y}$
D. $\frac{x - y}{2x}$

答案： A

10. 化简：
(1) $\frac{-x^{2}+2xy - y^{2}}{x^{2}+x}\div\frac{y^{2}-x^{2}}{x + 1}$；
(2) $\frac{a^{2}-(a - 1)(a + 1)}{a + 1}\cdot\frac{(a + 1)^{2}}{(a + 1)(a - 1)}$.

答案： 解:
(1) 原式$=\frac{-(x - y)^{2}}{x(x + 1)}\cdot\frac{x + 1}{(y - x)(y + x)}=\frac{x - y}{x(y + x)}$.
(2) 原式$=\frac{a^{2}-a^{2}+1}{a + 1}\cdot\frac{(a + 1)^{2}}{(a + 1)(a - 1)}=\frac{1}{a - 1}$.

11. [2023朔州期末]化简式子$\frac{x(x - 2)}{x^{2}}\div\frac{x^{2}-4x + 4}{x}$，再从0、1、2中取一个合适的数作为$x$的值代入求值.

答案： 解: 原式$=\frac{x(x - 2)}{x^{2}}\cdot\frac{x}{(x - 2)^{2}}=\frac{1}{x - 2}$, 其中$x\neq0$且$x\neq2$, 所以当$x = 1$时, 原式$=-1$.

12. [2024杭州月考]老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后遮住了其中一部分：$\frac{x - 4}{x^{2}-9}\div\frac{■}{x + 3}$. 已知化简该式的正确结果为$\frac{1}{x - 3}$.
(1)求被遮住的部分.
(2)小君认为当$x = 4$时，原代数式的值等于1，你同意她的说法吗？如果不同意，请说明理由.

答案： 解:
(1) 设被遮住的部分是$A$, 则$\frac{x - 4}{x^{2}-9}\div\frac{A}{x + 3}=\frac{x - 4}{(x + 3)(x - 3)}\cdot\frac{x + 3}{A}=\frac{1}{x - 3}$, $\therefore A = x - 4$.
(2) 不同意. 理由如下: 由
(1) 得原式$=\frac{x - 4}{x^{2}-9}\div\frac{x - 4}{x + 3}$, 当$x = 4$时, 原式中$x - 4 = 0$, 则原代数式无意义, $\therefore$当$x = 4$时, 原代数式的值不等于1.

13. 已知$(a^{2}-1)^{2}+\left|\frac{a + 1}{a - 1}\right| = 0$，计算$\frac{a^{2}+4a + 4}{a^{2}-2a + 1}\cdot\frac{a - 1}{a^{2}-4}$的值.
思路点拨：由两数差的平方和绝对值的非负性可得$a$的具体值.

答案： 解: $\because(a^{2}-1)^{2}+\left|\frac{a + 1}{a - 1}\right| = 0$, $\therefore(a^{2}-1)^{2}=0$, $\left|\frac{a + 1}{a - 1}\right| = 0$, $a - 1\neq0$, $\therefore a = -1$. $\therefore$原式$=\frac{(a + 2)^{2}}{(a - 1)^{2}}\cdot\frac{a - 1}{(a - 2)(a + 2)}=\frac{a + 2}{(a - 2)(a - 1)}=\frac{-1 + 2}{(-1 - 2)\times(-1 - 1)}=\frac{1}{6}$.