《2025年53精准练八年级数学下册华师大版山西专版》

1. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数$y = x$的图象与一次函数$y = kx - k$的图象的交点为$A(m, 2)$。
(1)求此一次函数的表达式；
(2)求$\triangle AOB$的面积。
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)把$A(m,2)$代入$y = x$得$m = 2$，则点$A$的坐标为$(2,2)$，把$A(2,2)$代入$y = kx - k$得$2k - k = 2$，解得$k = 2$，所以一次函数的表达式为$y = 2x - 2$。
(2)把$x = 0$代入$y = 2x - 2$，解得$y = -2$，则点$B$的坐标为$(0,-2)$，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\times2\times2 = 2$。

2. 如图，直线$y = 3x + 1$与$y$轴交于点$A$，与直线$y = x - 3$交于点$P(-2, -5)$，直线$y = x - 3$与$x$轴交于点$B$，求$\triangle APB$的面积。
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：记直线$y = 3x + 1$与$x$轴交于点$C$，将$y = 0$代入$y = 3x + 1$，得$3x + 1 = 0$，所以$x = -\frac{1}{3}$，所以点$C$的坐标为$(-\frac{1}{3},0)$，将$y = 0$代入$y = x - 3$，得$x - 3 = 0$，所以$x = 3$，所以点$B$的坐标为$(3,0)$，$y = 3x + 1$中，令$x = 0$，得$y = 1$，所以点$A$的坐标为$(0,1)$，则$S_{\triangle APB}=\frac{1}{2}BC\times(y_{A}-y_{P})=\frac{1}{2}\times(3+\frac{1}{3})\times[1 - (-5)]=\frac{1}{2}\times\frac{10}{3}\times6 = 10$。

3. 若一次函数$y = kx + b$的图象与直线$y = 2x + 1$平行，且与两坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的表达式为____________。

答案： $y = 2x + 6$或$y = 2x - 6$

4. 如图，过点$A(1, 0)$的两条直线$l_1$，$l_2$分别交$y$轴于点$B$，$C$，其中点$B$在原点上方，点$C$在原点下方，已知$AB^{2}=10$。
　　　　　　　(1)求点$B$的坐标；
　　　　　　　(2)若$\triangle ABC$的面积是3，求直线$l_2$的表达式。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)因为点$A(1,0)$，所以$AO = 1$，又因为$AB^{2}=10$，$AO^{2}+BO^{2}=AB^{2}$，所以$BO = 3$，所以点$B$的坐标为$(0,3)$。
(2)因为$\triangle ABC$的面积为$3$，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AO = 3$，所以$\frac{1}{2}BC\times1 = 3$，即$BC = 6$。因为$BO = 3$，所以$CO = 3$，所以$C(0,-3)$。设直线$l$的表达式为$y = kx + b(k\neq0)$，将$A(1,0)$，$C(0,-3)$分别代入，得$k + b = 0$，$b = -3$，所以$k = 3$，所以直线$l$的表达式为$y = 3x - 3$。

5. 如图，一次函数$y = -\frac{1}{2}x + m$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$，$B$，与正比例函数$y = -\frac{3}{2}x$的图象交于点$C(-2, n)$。
　　　　　　　(1)求点$A$，$B$，$C$的坐标。
　　　　　　　(2)在$y$轴上是否存在一点$P$，使得$S_{\triangle BCP}=S_{\triangle OAC}$？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)将$C(-2,n)$代入$y = -\frac{3}{2}x$，得$n = -\frac{3}{2}\times(-2)=3$，则$C(-2,3)$，将$C(-2,3)$代入$y = -\frac{1}{2}x + m$，得$3 = -\frac{1}{2}\times(-2)+m$，解得$m = 2$，所以一次函数的表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 2$，当$x = 0$时，$y = 2$，所以$B(0,2)$；当$y = 0$时，$-\frac{1}{2}x + 2 = 0$，解得$x = 4$，所以$A(4,0)$。
(2)存在，由
(1)知，$A(4,0)$，$C(-2,3)$。所以$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}OA\times y_{C}=\frac{1}{2}\times4\times3 = 6$。所以$S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}\times2BP = S_{\triangle OAC}=6$，所以$BP = 6$，又因为$B(0,2)$，所以当点$P$在$B$上方时，点$P$的坐标为$(0,8)$；当点$P$在$B$下方时，点$P$的坐标为$(0,-4)$。综上，点$P$的坐标为$(0,8)$或$(0,-4)$。