《2025年世纪金榜金榜学案八年级数学下册人教版》

|举一反三
如图，直线$y = kx + 6$与$x$轴，$y$轴分别交于点$E$、点$F$，点$E$的坐标为$( - 8,0)$.
(1)求$k$的值；
(2)已知点$A( - 6,0)$，若点$P(x,y)$是直线上第二象限内的一个动点，试写出$\triangle OPA$的面积$S$关于$x$的函数解析式，并写出自变量$x$的取值范围；
(3)探究：在(2)的条件下，当点$P$运动到什么位置时，$\triangle OPA$的面积为$\frac{27}{4}$？并说明理由.

答案：
(1)k = $\frac{3}{4}$
(2)S = $\frac{9}{4}$x + 18，-8 ＜ x ＜ 0；
(3)点P的坐标为(-5,$\frac{9}{4}$)时，△OPA的面积为$\frac{27}{4}$

【典例2】（教材再开发·P95“思考”拓展）某公司组织10辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共60吨去外地销售，要求10辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于2辆，根据表格提供的信息，解决以下问题：
|项目|苹果|芦柑|香梨|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|每辆汽车载货量（吨）|7|6|5|
|每吨水果获利（万元）|0.15|0.2|0.1|
(1)设装运苹果的车辆为$x$辆，装运芦柑的车辆为$y$辆，求$y$与$x$之间的函数关系式，并直接写出$x$的取值范围.
(2)用$\omega $来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出$\omega $的最大值.

答案：
(1)已知装运苹果的车辆为x辆，装运芦柑的车辆为y辆，则装运香梨的车辆为(10 - x - y)辆. 7x + 6y + 5(10 - x - y) = 60，
∴y = -2x + 10(2≤x≤4)；
(2)w = 7×0.15x + 6×0.2(-2x + 10)+5×0.1[10 - x - (-2x + 10)]， 即w = -0.85x + 12，
∵-0.85 ＜ 0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x = 2时，w有最大值10.3万元，
∴装运苹果的车辆2辆，装运芦柑的车辆6辆，装运香梨的车辆2辆时，此次销售获利最大，最大利润为10.3万元.

|举一反三
如图是小明“探究拉力F与斜面高度h关系”的实验装置，A，B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（cm）的一次函数.
(1)求出F与h之间的函数解析式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)若弹簧测力计的最大量程是6 N，求装置高度h的取值范围.

答案：
(1)F与h之间的函数解析式为F = $\frac{1}{10}$h + 1
(2)装置高度h的取值范围是0 ＜ h≤50