《2025年世纪金榜金榜学案八年级数学下册人教版》

【典例1】(教材再开发·P91例2拓展)已知一次函数$y = \frac{4}{3}x - 4$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于点A，B，请解答下列问题：

（1）点A的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出一次函数$y = \frac{4}{3}x - 4$的图象；
（3）点(6，-4)________该函数图象上；(填“在”或“不在”)
（4）求原点到此函数图象的距离.

答案：

(1)(3,0) (0, -4)
(2)如图： 
(3)不在
(4)设原点到此函数图象的距离为$h$， $AB = \sqrt{OA^{2}+OB^{2}} = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$， $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}×OA×OB = \frac{1}{2}×3×4 = 6$， $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}×AB×h = \frac{1}{2}×5×h = \frac{5}{2}h$，$\because 6 = \frac{5}{2}h$，$\therefore h = 2.4$.

举一反三
1.已知关于$x$的一次函数为$y = mx + 4m - 2$，下列说法中错误的是（ ）
A.函数图象与$y$轴交于点(0，-2)
B.若$m = \frac{1}{3}$，则函数图象经过第一、三、四象限
C.若函数图象经过原点，则$m = \frac{1}{2}$
D.无论$m$为何实数，函数图象总经过(-4，-2)

答案： A

2.将直线$y = 2x$向上平移6个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积是________.

答案： 9

【典例2】已知一次函数$y = (3 - 2m)x - m + 2$，
（1）当$m$为何值时，该函数图象经过原点；
（2）若该函数图象与$y$轴交点在$x$轴上方，求$m$的取值范围；
（3）若该函数图象经过第一、二、四象限，求$m$的取值范围.

答案： 【自主解答】
(1)$\because$一次函数$y = (3 - 2m)x - m + 2$的图象经过原点， $\therefore -m + 2 = 0$，解得$m = 2$.当$m = 2$时，$3 - 2×2 = -1\neq0$， $\therefore$当$m = 2$时，该函数图象经过原点；
(2)$\because$一次函数$y = (3 - 2m)x - m + 2$的图象与$y$轴交点在$x$轴上方， $\therefore \begin{cases}3 - 2m\neq0 \\ -m + 2＞0\end{cases}$，解得：$m＜2$且$m\neq\frac{3}{2}$. $\therefore$若该函数图象与$y$轴交点在$x$轴上方，则$m$的取值范围为$m＜2$且$m\neq\frac{3}{2}$；
(3)$\because$一次函数$y = (3 - 2m)x - m + 2$的图象经过第一、二、四象限， $\therefore \begin{cases}3 - 2m＜0 \\ -m + 2＞0\end{cases}$，解得$\frac{3}{2}＜m＜2$. $\therefore$若该函数图象经过第一、二、四象限，则$m$的取值范围为$\frac{3}{2}＜m＜2$.

举一反三
已知一次函数$y = (a^{2} + 1)x - 3(a为常数，且a\neq0)$的图象过P($x_1,y_1)$，Q($x_2,y_2)$，若$x_1 ＞ x_2$，则$y_1________y_2$. (填“＞”或“＜”)

答案： ＞

1.(3分·几何直观、推理能力)满足$k＞0,b = 3$的一次函数$y = kx + b$的图象大致是（ ）

答案： A

2.(3分·推理能力)已知A(-1,$a)$，B(2,$b)$两点都在关于$x$的一次函数$y = -x + m$的图象上，则$a,b$的大小关系为（ ）
A.$a\geq b$
B.$a ＞ b$
C.$a ＜ b$
D.无法确定

答案： B

3.(3分·推理能力)一次函数$y = -x + 2$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于A,B两点，则AB长为（ ）
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.4

答案： C

4.(5分·推理能力、抽象能力)若直线$y = mx + 1$向上平移3个单位长度后经过点P(2,3)，则$m$值为__________.

答案： $-\frac{1}{2}$

5.(6分·抽象能力、推理能力)已知一次函数$y=(m + 2)x+(m - 4)$.
（1）当$m$在什么范围时，$y$随$x$的增大而减小?
（2）当$m$为何值时，函数图象经过原点?
（3）当$m$在什么范围时，函数图象与$y$轴的交点在$x$轴的下方?

答案： 【解析】
(1)$m + 2＜0$，解得$m＜-2$， $\therefore$当$m＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小；
(2)$m - 4 = 0$，解得$m = 4$， $\therefore$当$m = 4$时，一次函数图象经过原点；
(3)$m - 4＜0$，且$m + 2\neq0$， 解得$m＜4$且$m\neq -2$， $\therefore$当$m＜4$且$m\neq -2$时，一次函数图象与$y$轴的交点在$x$轴的下方.