《2025年世纪金榜金榜学案八年级数学下册人教版》

【典例2】(教材再开发·P2例1拓展)
求使下列各式有意义的所有$x$的取值范围：
(1)$\sqrt{3 - 2x}$； (2)$\sqrt{x} - \sqrt{2x - 1}$；
(3)$\frac{\sqrt{x + 1}}{\vert x\vert - 2}$； (4)$\sqrt{x^2 + 2x + 2}$.

答案：
(1)$x\leqslant\frac{3}{2}$
(2)$x\geqslant\frac{1}{2}$
(3)$x\geqslant - 1$且$x\neq2$
(4)$x$为任意实数时，$\sqrt{x^{2}+2x + 2}$都有意义，$\therefore x$的取值范围为任意实数.

举一反三
若在实数范围内$\sqrt{1 - a} + \frac{5a}{2a + 1}$有意义，则$a$的取值范围是______________.

答案： $a\leqslant1$且$a\neq - \frac{1}{2}$

【典例3】(教材再开发·P3二次根式性质拓展)
如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$B$的坐标分别为$A(a,0)$，$B(b,0)$，且$a$，$b$满足$\vert a + 2\vert + \sqrt{b - 4} = 0$，点$C$的坐标为$(0,3)$.
(1)求$a$，$b$的值；
(2)求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1)$a = - 2$，$b = 4$；
(2)点$A$，$B$的坐标分别是$(-2,0)$，$(4,0)$， $\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}\times6\times3 = 9$.

举一反三
若$\sqrt{x + 1} + (y - 2025)^2 = 0$，则$x^y =$__________.

答案： -1

1. (3分·模型观念)下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. $\sqrt{a}(a\geq0)$
B. $\sqrt{a}$
C. $\sqrt{-2 + 1}$
D. $\sqrt{(-1)^3}$

答案： A

2. (3分·模型观念)(2023·江西中考)若$\sqrt{a - 4}$有意义，则$a$的值可以是（ ）
A. -1
B. 0
C. 2
D. 6

答案： D

3. (4分·模型观念、运算能力)若实数$a$，$b$满足$\sqrt{a - 5} + 2\sqrt{5 - a} = b + 4$，则$a - b =$_______.

答案： 9

4. (4分·模型观念)(2023·永州中考)已知$x$为正整数，写出一个使$\sqrt{x - 3}$在实数的范围内没有意义的$x$值是_______.

答案： 1（或2）

5. (6分·模型观念、运算能力)已知二次根式$\sqrt{3 - \frac{1}{2}x}$.
(1)求$x$的取值范围；
(2)求当$x = -2$时，二次根式$\sqrt{3 - \frac{1}{2}x}$的值；
(3)若二次根式$\sqrt{3 - \frac{1}{2}x}$的值为零，求$x$的值.

答案：
(1)$x\leqslant6$
(2)当$x = - 2$时，二次根式$\sqrt{3-\frac{1}{2}x}=2$
(3)$x = 6$