《2025年世纪金榜金榜学案八年级数学下册人教版》

新知要点
1. 二次根式的定义
形如          的式子.
2. 二次根式的双重非负性
$a\geq0,\sqrt{a}\geq0$

答案： 1. $\sqrt{a}(a\geqslant0)$

1. 下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A. $\sqrt{45}$
B. $\sqrt{-3}$
C. $\sqrt{(a + 3)^2}$
D. $\sqrt{\frac{2}{3}}$

答案： B

2. (1)如果二次根式$\sqrt{x - 3}$有意义，那么$x$的取值范围是______________.
(2)已知$y = \sqrt{x - 6} + \sqrt{6 - x} - 3$，则$x =$____，$y =$_____.

答案：
(1)$x\geqslant3$
(2)6 -3

【典例1】(教材再开发·P2二次根式定义拓展)
下列各式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：$\sqrt{2},\sqrt[3]{3},\frac{1}{x},\sqrt{x}(x ＞ 0),\sqrt{0},\sqrt[4]{2},-\sqrt{2},\frac{1}{x + y},\sqrt{x + y}(x\geq0,y\geq0),\sqrt{x^2 + 4x + 4}$.

答案： 【自主解答】二次根式需要具备两个条件：一是形式如“$\sqrt{a}$”；二是所含被开方数（式）是非负数. 可知$\sqrt{2}$，$\sqrt{x}(x ＞ 0)$，$\sqrt{0}$，$-\sqrt{2}$，$\sqrt{x + y}(x\geqslant0,y\geqslant0)$，$\sqrt{x^{2}+4x + 4}$是二次根式. 其中$\sqrt[3]{3}$，$\sqrt[4]{2}$的根指数分别为3，4，不是二次根式；$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{x + y}$是分式，不是二次根式；因为$x^{2}+4x + 4=(x + 2)^{2}\geqslant0$，所以$\sqrt{x^{2}+4x + 4}$是二次根式.

1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A. $\sqrt{-2}$
B. $\sqrt[3]{3}$
C. $\sqrt{a^2 + 1}$
D. $\sqrt{a - 1}$

答案： C

2. 下列式子：①$\sqrt{\frac{1}{3}}$；②$\sqrt{1 - 2}$；③$\sqrt{x^2 + 3}$；④$\sqrt[3]{27}$；⑤$\sqrt{(-4)^2}$.是二次根式的有________.(填序号)

答案： ①③⑤