《2025年世纪金榜金榜学案八年级数学下册人教版》

新知要点
1. 二元一次方程与一次函数的关系
每个二元一次方程→一个一次函数；方程的解→函数图象上点的坐标.
2. 二元一次方程组与一次函数的关系
每个二元一次方程组→两个一次函数；方程组的解→两个函数图象的____坐标.

答案： 交点

1. 如图，在平面直角坐标系中，直线$y = x + 2$和直线$y = ax + b(a\neq0)$相交于点$P$. 根据图象可知，方程$x + 2 = ax + b$的解是$x =$_________.

答案： 5

2. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法. 如图，直线$y = x + 1$和直线$y = ax + b$相交于点$P$，根据图象可知，方程组$\begin{cases}x - y = -1\\ax - y + b = 0\end{cases}$的解是____________________.

答案： $\begin{cases}x = 4\\y = 5\end{cases}$

【典例1】(教材再开发·P99T8拓展)如图，直线$l_1$的解析式为$y = -3x + 3$，且$l_1$与$x$轴交于点$D$，直线$l_2$经过点$A$，点$B$，直线$l_1$，$l_2$交于点$C$.
(1)求点$D$的坐标；
(2)求直线$l_2$的解析式；
(3)求$\triangle ADC$的面积；
(4)在直线$l_2$上存在异于点$C$的另一点$P$，使得$\triangle ADP$与$\triangle ADC$的面积相等，请直接写出点$P$的坐标.

答案：
(1) 令$y = 0$，则$x = 1$，$\therefore D(1,0)$；
(2) 设直线$l_2$的解析式为$y = kx + b$，把$A(4,0)$，$B(3,-\frac{3}{2})$代入得$\begin{cases}4k + b = 0\\3k + b = -\frac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{3}{2}\\b = -6\end{cases}$，所以直线$l_2$的解析式为$y = \frac{3}{2}x - 6$；
(3) 解方程组$\begin{cases}y = \frac{3}{2}x - 6\\y = -3x + 3\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases}$，则$C(2,-3)$；由
(1)得$D(1,0)$，所以$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}\times(4 - 1)\times3=\frac{9}{2}$；
(4) 因为$\triangle ADP$与$\triangle ADC$的面积相等，所以点$P$与点$C$到$AD$的距离相等，所以$P$点的纵坐标为3，当$y = 3$时，$\frac{3}{2}x - 6 = 3$，解得$x = 6$，所以点$P$坐标为$(6,3)$。