《2025年世纪金榜金榜学案八年级数学下册人教版》

1. 如图1，在正方形ABCD内作∠EAF = 45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H.
(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
①求证：△AGE≌△AFE；
②若BE = 2，DF = 3，求AH的长.
(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N. 请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由.

答案：
【解析】
(1)①由旋转的性质可知，AF = AG，∠DAF = ∠BAG。 因为四边形ABCD为正方形，所以∠BAD = 90°。又因为∠EAF = 45°，所以∠BAE + ∠DAF = 45°，进而∠BAG + ∠BAE = 45°，即∠GAE = ∠FAE。 在△GAE和△FAE中， \[ \begin{cases} AG = AF \\ \angle GAE = \angle FAE \\ AE = AE \end{cases} \] 所以△GAE≌△FAE(SAS)。 ②因为△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，所以AB = AH，GE = EF = 5。 设正方形的边长为x，则EC = x - 2，FC = x - 3。 在Rt△EFC中，由勾股定理得EF² = FC² + EC²，即(x - 2)² + (x - 3)² = 25。 解得x = 6。所以AB = 6，AH = 6。
(2)如图所示，将△ABM逆时针旋转90°得△ADM'。 因为四边形ABCD为正方形，所以∠ABD = ∠ADB = 45°。 由旋转的性质可知，∠ABM = ∠ADM' = 45°，BM = DM'。 所以∠NDM' = 90°。 在Rt△NM'D中根据勾股定理得NM'² = ND² + DM'²。 因为∠EAM' = 90°，∠EAF = 45°，所以∠EAF = ∠FAM' = 45°。 在△AMN和△AM'N中， \[ \begin{cases} AM = AM' \\ \angle MAN = \angle M'AN \\ AN = AN \end{cases} \] 所以△AMN≌△AM'N(SAS)。 所以MN = M'N。又因为BM = DM'，所以MN² = ND² + BM²。

2.【方法回顾】
如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线l交边BC于点P，BE⊥AP于点E，DF⊥AP于点F，猜想BE，DF，EF三条线段的数量关系：______________，并证明你的猜想.

【问题解决】
如图2，菱形ABCD的边长为\frac{3}{2}，过点A作一条直线l交边BC于点P，且∠DAP = 90°，点F是AP上一点，且∠BAD + ∠AFD = 180°，过点B作BE⊥AB，与直线l交于点E，若EF = 1，求BE的长.

答案： 【解析】【方法回顾】DF - BE = EF。 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB = AD，∠BAD = 90°。 因为∠BAE + ∠DAF = 90°，∠BAE + ∠ABE = 90°，所以∠ABE = ∠DAF。 又因为∠AFD = ∠BEA = 90°，所以△ABE≌△DAF(AAS)。 所以BE = AF，AE = DF，因为EF = AE - AF，所以DF - BE = EF。 【问题解决】 因为四边形ABCD为菱形，所以AB = AD。 因为BE⊥AB，所以∠ABE = ∠DAF = 90°。 因为∠BAD + ∠AFD = 180°，所以∠BAP + ∠FAD + ∠AFD = 180°。 又因为∠ADF + ∠FAD + ∠AFD = 180°，所以∠BAP = ∠ADF。 所以△ABE≌△DAF(ASA)。 所以DF = AE = AF + EF = AF + 1，AF = BE。 因为∠DAF = 90°，所以AF² + AD² = DF²。 即AF² + ($\frac{3}{2}$)²=(AF + 1)²。 解得AF=$\frac{5}{8}$，所以BE = AF=$\frac{5}{8}$。