《2025年假期冲冠黑龙江教育出版社八年级数学》

【例2】 若$\sqrt{2x - 1}+\sqrt{1 - 2x}+1$在实数范围内有意义，则x满足的条件是 （ ）

A.$x\geqslant\frac{1}{2}$
B.$x\leqslant\frac{1}{2}$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.$x\neq\frac{1}{2}$

答案： 【解析】：要使二次根式$\sqrt{2x - 1}$和$\sqrt{1 - 2x}$在实数范围内有意义，被开方数必须是非负数。所以可得不等式组$\begin{cases}2x - 1\geq0 \\1 - 2x\geq0\end{cases}$，解第一个不等式$2x - 1\geq0$得$x\geq\frac{1}{2}$，解第二个不等式$1 - 2x\geq0$得$x\leq\frac{1}{2}$，所以$x$只能等于$\frac{1}{2}$。
【答案】：C

3. 如果二次根式$\sqrt{a - 1}$有意义,那么实数a的取值范围是 ( )

A.$a＞1$
B.$a\geqslant1$
C.$a＜1$
D.$a\leqslant1$

答案： B

4. 使得式子$\frac{x}{\sqrt{4 - x}}$有意义的x的取值范围是 ( )

A.$x\geqslant4$
B.$x＞4$
C.$x\leqslant4$
D.$x＜4$

答案： D

5. 若代数式$\frac{1}{x - 1}+\sqrt{x}$有意义,则实数x的取值范围是 ( )

A.$x\neq1$
B.$x\geqslant0$
C.$x = 0$
D.$x\geqslant0且x\neq1$

答案： D

6. 若式子$\sqrt{2 - x}+\sqrt{x - 1}$有意义,则x的取值范围是______。

答案： $1 \leq x \leq 2$

7. 已知$\sqrt{a}(a-\sqrt{3})\leqslant0$,若$b = 2 - a$,则b的取值范围是______。

答案： $2 - \sqrt{3} \leq b \leq 2$

8. 当x为何值时,下列各式有意义？
(1)$\sqrt{-x}$； (2)$\sqrt{5 - 2x}$；
(3)$\sqrt{x^{2}+1}$； (4)$\frac{1}{\sqrt{5 - 3x}}$。

答案： 解：
(1)要使$\sqrt{-x}$有意义，则$-x \geq 0$，解得$x \leq 0$；
(2)要使$\sqrt{5 - 2x}$有意义，则$5 - 2x \geq 0$，解得$x \leq \frac{5}{2}$；
(3)要使$\sqrt{x^{2}+1}$有意义，因为$x^{2} \geq 0$，所以$x^{2}+1 \geq 1 ＞ 0$，则$x$为全体实数；
(4)要使$\frac{1}{\sqrt{5 - 3x}}$有意义，则$\sqrt{5 - 3x} \neq 0$且$5 - 3x \geq 0$，即$5 - 3x ＞ 0$，解得$x ＜ \frac{5}{3}$。

9. 在下列式子中,一定是二次根式的个数有 ( )
$\sqrt{a}$,$\sqrt{x^{2}+3}$,$\sqrt{77}$,$\sqrt{-6^{2}}$,$\sqrt{(-9)^{2}}$,$\sqrt[3]{2m^{2}}$。

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： B

10. 已知$y= \sqrt{x - 5}+\sqrt{5 - x}-3$,则$xy= $ ( )

A.-15
B.-9
C.9
D.15

答案： A

11. 已知$\sqrt{12 - n}$是整数,则实数n的最大值为 ( )

A.12
B.11
C.8
D.3

答案： A

12. 若代数式$\frac{\sqrt{x}}{x - 1}$有意义,则实数x的取值范围是______。

答案： $x \geq 0$且$x \neq 1$

13. 已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足$b = 4+\sqrt{3a - 6}+3\sqrt{2 - a}$,求此三角形的周长。

答案： 解：$\because 3a - 6 \geq 0$，$2 - a \geq 0$，$\therefore a = 2$，$b = 4$。
当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；
当边长为4，4，2时，符合实际情况，$4 × 2 + 2 = 10$。
即此三角形的周长为10。