《2025年假期冲冠黑龙江教育出版社八年级数学》

8. 如图,AD,BE 是△ABC 的高线,AD 与 BE 相交于点 F。若 AD = BD = 6,且△ACD 的面积为 12,则 AF 的长度为______。

答案： 2

9. 如图 1 是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图 2 所示,AB = AE,AC = AD,∠BAD = ∠EAC,∠C = 50°,求∠D 的大小。

答案： 解：$\because \angle BAD=\angle EAC$，
$\therefore \angle BAD+\angle CAD=\angle EAD+\angle CAD$
即$\angle BAC=\angle EAD$，
在$\triangle BAC$与$\triangle EAD$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AE\\ \angle BAC=\angle EAD,\\ AC=AD\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BAC\cong \triangle EAD(SAS)$，
$\therefore \angle D=\angle C=50^{\circ}$。

10. 在平面内,正方形 ABCD 与正方形 CEFH 如图放置,连接 DE,BH,两线交于点 M。求证：
(1)BH = DE。
(2)BH ⊥ DE。

答案： 证明：（1）在正方形 $ABCD$ 与正方形 $CEFH$ 中，$BC=DC$，$CH=CE$，$\angle BCD=\angle ECH=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCD+\angle DCH=\angle ECH+\angle DCH$，
即$\angle BCH=\angle DCE$。
在$\triangle BCH$和$\triangle DCE$中，
$\left\{\begin{array}{l} BC=DC,\\ \angle BCH=\angle DCE,\\ CH=CE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BCH\cong \triangle DCE(SAS)$，$\therefore BH=DE$。
(2) 设 $BH$ 与 $CD$ 相交于点 $O$，$\because \triangle BCH\cong \triangle DCE$，$\therefore \angle CBH=\angle CDE$。又 $\because \angle BOC=\angle DOM$，$\therefore \angle DMB=\angle BCD=90^{\circ}$。$\therefore BH\perp DE$。