《2025年假期冲冠黑龙江教育出版社八年级数学》

13. 我们借助对同一个长方形面积的不同表示,可以解释一些多项式的因式分解,例如选取图①中的 $A$ 卡片 $1$ 张,$B$ 卡片 $1$ 张,$C$ 卡片 $2$ 张,就能拼成图②所示的正方形,从而可以解释 $a^{2}+2ab + b^{2}= (a + b)^{2}$.

请用 $A$ 卡片 $1$ 张、$B$ 卡片 $2$ 张、$C$ 卡片 $3$ 张拼成一个长方形,画图并完成多项式 $a^{2}+3ab + 2b^{2}$ 的因式分解.

答案：
13. 解：如图③，

所以 $ a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b) $

14. “回文”是汉语特有的一种使用词序回环往复的修辞方法,正着读,倒着读,文字一样,韵味无穷.例如：处处飞花飞处处,潺潺碧水碧潺潺.数学中也有像回文联一样的“回文等式”,例如,以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：
$21×24 = 42×12$,$31×26 = 62×13$,$12×84 = 48×21$.
(1)下列选项中能构成“回文等式”的是______.(填上所有正确的选项)
A. $18×31$ 与 $13×81$
B. $46×32$ 与 $63×24$
C. $46×96$ 与 $69×64$
D. $22×454$ 与 $454×22$
E. $31×286$ 与 $682×13$
(2)请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律,并用所学数学知识证明.

答案： 14. 解：
(1) A 选项，$ 18 × 31 = 558 $，$ 13 × 81 = 1053 $，$ 558 \neq 1053 $，故该选项不符合题意；
B 选项，$ 46 × 32 $和 $ 63 × 24 $不是回文等式，故该选项不符合题意；
C 选项，$ 46 × 96 = 4416 $，$ 69 × 64 = 4416 $，故该选项符合题意；
D 选项，$ 22 × 454 = 454 × 22 $，故该选项符合题意；
E 选项，$ 31 × 286 = 8866 $，$ 682 × 13 = 8866 $，故该选项符合题意. 故答案为 CDE。
(2)“回文等式”左右两边的两个两位数中十位数字的积等于个位数字的积.
证明如下：设“回文等式”左边的两个两位数为 $ 10a + b $，$ 10c + d $，其中 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 为小于 10 的正整数.
依题意得 $ (10a + b)(10c + d) = (10d + c)(10b + a) $
$ \therefore 100ac + 10ad + 10bc + bd = 100bd + 10ad + 10bc + ac $
$ \because 99ac = 99bd $，$ \therefore ac = bd $