《2025年假期冲冠黑龙江教育出版社八年级数学》

12. 如图所示,AD 是$∠BAC$的平分线,$DE⊥AB$于点 E,$DF⊥AC$于点 F,且$DB= DC$.求证:$BE= CF$.

答案： 证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF ⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
$\begin{cases} DB = DC, \\ DE = DF. \end{cases}$
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF.

13. 如图,点 B,C,E 在同一条直线上,CD 平分$∠ACE,∠DBM= ∠DAN,DM⊥BE$于 M,$DN⊥AC$于 N.
(1)求证:$\triangle BDM\cong \triangle ADN;$
(2)若$AC= 7,BC= 3$,求 CM 的长.

答案： 证明：
(1)
∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，
∴DM=DN，∠DMB=∠DNA=90°，
在△BDM和△ADN中，
$\begin{cases} \angle DBM = \angle DAN, \\ \angle DMB = \angle DNA, \\ DM = DN, \end{cases}$
∴△BDM≌△ADN(AAS).
(2)在Rt△DCN和Rt△DCM中，
$\begin{cases} DC = DC, \\ DN = DM, \end{cases}$
∴Rt△DCN≌Rt△DCM(HL)
∴CN=CM,
∵△BDM≌△ADN，
∴BM=AN,
∴AC=AN+CN=BM+CM=BC+CM +CM=7,
∴3+2CM=7，
∴CM=2

14. 如图,四边形 ABCD 中,$∠D= ∠C= 90^{\circ }$,点 E 在 CD 上,AE 平分$∠DAB$,BE 平分$∠CBA$,若$AD= 4,AB= 6$,求 CB 的长.

答案： 解：过点E作EF⊥AB于点F,
∵AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
∴∠DAE=∠FAE，∠CBE=∠FBE
在△ADE与△AEF中，
$\begin{cases} \angle D = \angle AFE \\ \angle DAE = \angle FAE, \\ AE = AE \end{cases}$
∴△ADE≌△AFE(AAS),
∴AD=AF=4,
∴BF=AB−AF=6−4=2.
同理可得△BCE≌△BFE,
∴BC=BF=2

15. 在$\triangle ABC$中,AE,BF 是角平分线,交于 O 点.
(1)如图(1),AD 是高,$∠BAC= 50^{\circ },∠C= 70^{\circ }$,求$∠DAC和∠BOA$的度数.
(2)如图(2),若$OE= OF,AC≠BC$,求$∠C$的度数.
(3)如图(3),若$∠C= 90^{\circ },BC= 8,AC= 6,AB= 10$,求$S_{\triangle AOB}$.

答案：
解：
(1)
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°.
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°−90°−70°=20°.
∵∠BAC=50°，∠C=70°，AE是∠BAC 的平分线，
∴∠BAO=25°，∠ABC=60°.
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABO=30°，
∴∠BOA=180°−∠BAO−∠ABO =180°−25°−30°=125°.
(2)连接OC，如图
(1).
∵AE，BF是角平分线，且交于O点，
∴CO是∠ACB的平分线，
∴∠OCF=∠OCE.过点O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM=ON.在Rt△OEM与Rt△OFN中，
$\begin{cases} OE = OF, \\ OM = ON, \end{cases}$
∴Rt△OEM≌Rt△OFN(HL)，
∴∠EOM=∠FON，
∴∠MON=∠EOF=180°−∠ACB.
∵AE，BF是角平分线，
∴∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB.又
∵∠AOB=∠EOF，
∴90°+$\frac{1}{2}$∠ACB=180°−∠ACB，
∴∠ACB =60°.
(3)如图
(2)，过点O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H.
∵AE，BF 是角平分线，且交于O点，
∴OD=OG=OH，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×8×6=$\frac{1}{2}$×10×OD+$\frac{1}{2}$×8×OG+$\frac{1}{2}$×6×OH，
∴OD =2，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$×10×2=10.