《2025年假期冲冠黑龙江教育出版社八年级数学》

21. 在各个内角都相等的多边形中,一个外角等于一个内角的 $ \frac { 1 } { 3 } $,求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数.

答案： 21. 解：设该多边形为 $n$ 边形，
$\because$ 多边形一个外角等于一个内角的 $\frac{1}{3}$，
$\therefore$ 多边形的一个外角 $=180^{\circ}×\frac{1}{4}=45^{\circ}$，
一个内角 $=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$，
$\because$ 多边形的内角和为 $360^{\circ}$，
$\therefore$ 多边形的边数 $=\frac{360^{\circ}}{45^{\circ}}=8$，
答：该多边形每一个内角的度数为 $135^{\circ}$，该多边形为八边形。

22. 如图,在四边形 $ A B C D $ 中,$ B E $ 平分 $ ∠ A B C $ 交线段 $ A D $ 于点 $ E $,$ ∠ 1 = ∠ 2 $.

(1)判断 $ A D $ 与 $ B C $ 是否平行,并说明理由；
(2)当 $ ∠ A = ∠ C $,$ ∠ 1 = 40 ^ { \circ } $ 时,求 $ ∠ D $ 的度数.

答案： 22. 解：
(1) $AD// BC$，理由因为 $BE$ 平分 $\angle ABC$，
所以 $\angle EBC=\angle2$，
因为 $\angle1=\angle2$，
所以 $\angle1=\angle EBC$，
所以 $AD// BC$
(2) 因为 $\angle1 = 40^{\circ}$，$\angle1=\angle2$，
所以 $\angle EBC=\angle2 = 40^{\circ}$，
$\angle A = 180^{\circ}-\angle1-\angle2 = 100^{\circ}$，
因为 $\angle A=\angle C$，
所以 $\angle C=\angle A = 100^{\circ}$，
所以 $\angle D = 360^{\circ}-\angle A-\angle2-\angle EBC-\angle C$
$=360^{\circ}-100^{\circ}-40^{\circ}-40^{\circ}-100^{\circ}$
$=80^{\circ}$。