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2025年假期冲冠黑龙江教育出版社八年级数学
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年假期冲冠黑龙江教育出版社八年级数学 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1.如图,AF是△ABC的角平分线,BD⊥AF交AF的延长线于D,DE//AC,交AB于E,AE与BE相等吗?请说明理由.
答案：
解：AE = BE。理由如下：
∵AF平分∠BAC，
∴∠EAD = ∠CAD。
∵DE//AC，
∴∠ADE = ∠CAD，
∴∠EAD = ∠ADE，
∴AE = DE。
∵BD⊥AF，
∴∠ADB = 90°，
∴∠EBD + ∠BAD = 90°，∠EDB + ∠ADE = 90°，
∴∠BDE = ∠EBD，
∴BE = ED，
∴AE = BE。
∵AF平分∠BAC，
∴∠EAD = ∠CAD。
∵DE//AC，
∴∠ADE = ∠CAD，
∴∠EAD = ∠ADE，
∴AE = DE。
∵BD⊥AF，
∴∠ADB = 90°，
∴∠EBD + ∠BAD = 90°，∠EDB + ∠ADE = 90°，
∴∠BDE = ∠EBD，
∴BE = ED，
∴AE = BE。
2.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E、F分别在BD、AD上,且DE= CD,EF= AC.求证:EF//AB.
答案：
证明：如图，过$E$作$AC$的平行线，交$AD$的延长线于点$G$，则$\angle DEG=\angle C$，$\angle G=\angle CAD$. 在$\triangle DEG$和$\triangle DCA$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle GDE=\angle ADC,\\ ED=CD,\\ \angle DEG=\angle DCA,\end{array}\right.$ $\therefore \triangle DEG≌\triangle DCA(ASA)$，$\therefore EG=CA$. 又$EF = AC$，$\therefore EG = EF$，$\therefore \angle G=\angle EFG=\angle CAD$，$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAD=\angle CAD$，$\therefore \angle EFD=\angle BAD$，$\therefore EF// AB$.
证明：如图，过$E$作$AC$的平行线，交$AD$的延长线于点$G$，则$\angle DEG=\angle C$，$\angle G=\angle CAD$. 在$\triangle DEG$和$\triangle DCA$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle GDE=\angle ADC,\\ ED=CD,\\ \angle DEG=\angle DCA,\end{array}\right.$ $\therefore \triangle DEG≌\triangle DCA(ASA)$，$\therefore EG=CA$. 又$EF = AC$，$\therefore EG = EF$，$\therefore \angle G=\angle EFG=\angle CAD$，$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAD=\angle CAD$，$\therefore \angle EFD=\angle BAD$，$\therefore EF// AB$.
3.如图,在△ABC中,AB= AC,点D在AB上,若E在AC的延长线上,且BD= CE,DE交BC于F.求证:DF= EF.
答案：
证明：过点$D$作$DM// AC$交$BC$于点$M$，
$\therefore \angle DMB=\angle ACB$，$\angle FDM=\angle E$，
$\because AB = AC$，
$\therefore \angle B=\angle ACB$，
$\therefore \angle B=\angle DMB$，
$\therefore BD = MD$，
$\because BD = CE$，
$\therefore MD = CE$.
在$\triangle DMF$和$\triangle ECF$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle MDF=\angle E,\\ \angle MFD=\angle CFE,\\ MD=CE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DMF≌\triangle ECF(AAS)$，
$\therefore DF = EF$.
$\therefore \angle DMB=\angle ACB$，$\angle FDM=\angle E$，
$\because AB = AC$，
$\therefore \angle B=\angle ACB$，
$\therefore \angle B=\angle DMB$，
$\therefore BD = MD$，
$\because BD = CE$，
$\therefore MD = CE$.
在$\triangle DMF$和$\triangle ECF$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle MDF=\angle E,\\ \angle MFD=\angle CFE,\\ MD=CE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DMF≌\triangle ECF(AAS)$，
$\therefore DF = EF$.
4.如图,在△ABC中,CA= CB,D在AC的延长线上,E在BC上,且CD= CE.求证:DE⊥AB.
答案：
证明：过点$E$作$EF// AB$交$AC$于点$F$，
$\because CA=CB$，$\therefore \angle A=\angle B$，
$\because EF// AB$，$\therefore \angle CFE=\angle A$，$\angle CEF=\angle B$，
$\therefore \angle CFE=\angle CEF$，
$\because CD=CE$，$\therefore \angle D=\angle CED$，
在$\triangle DEF$中，$\angle D+\angle DEC+\angle DFE+\angle CEF=180^{\circ}$，
又$\angle DFE+\angle CFE=180^{\circ}$，且$\angle CFE=\angle CEF$，
$\therefore \angle D+\angle DEC+\angle CEF+\angle CEF=180^{\circ}$，
$\because \angle D=\angle DEC$，$\therefore 2\angle DEC+2\angle CEF=180^{\circ}$，
$\therefore \angle DEC+\angle CEF=90^{\circ}$，即$\angle DEF=90^{\circ}$，
$\therefore DE\perp EF$，
$\because EF// AB$，$\therefore DE\perp AB$。
$\because CA=CB$，$\therefore \angle A=\angle B$，
$\because EF// AB$，$\therefore \angle CFE=\angle A$，$\angle CEF=\angle B$，
$\therefore \angle CFE=\angle CEF$，
$\because CD=CE$，$\therefore \angle D=\angle CED$，
在$\triangle DEF$中，$\angle D+\angle DEC+\angle DFE+\angle CEF=180^{\circ}$，
又$\angle DFE+\angle CFE=180^{\circ}$，且$\angle CFE=\angle CEF$，
$\therefore \angle D+\angle DEC+\angle CEF+\angle CEF=180^{\circ}$，
$\because \angle D=\angle DEC$，$\therefore 2\angle DEC+2\angle CEF=180^{\circ}$，
$\therefore \angle DEC+\angle CEF=90^{\circ}$，即$\angle DEF=90^{\circ}$，
$\therefore DE\perp EF$，
$\because EF// AB$，$\therefore DE\perp AB$。
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