《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024·重庆巴蜀中学月考]已知等差数列$\{ a_{n}\} $的前n项和为$S_{n}$,若$m＞1$,且$a_{m-1}+a_{m+1}-a_{m}^{2}=0,S_{2m-1}=38$,则$m=$(C)

A.38
B.20
C.10
D.9

答案： 1.C 【解析】根据等差数列的性质可得$a_{m-1}+a_{m+1}=2a_{m}$.因为$a_{m-1}+a_{m+1}-a_{m}^{2}=0$，所以$a_{m}=0$或$a_{m}=2$.若$a_{m}=0$，显然$S_{2m-1}=(2m-1)a_{m}=38$不成立，所以$a_{m}=2$，所以$S_{2m-1}=(2m-1)a_{m}=38$，解得$m=10$.故选C.

2. [2024·大理一中期末]已知等差数列$\{ a_{n}\} $共有$2n+1$项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则$a_{n+1}$的值为(B)

A.30
B.29
C.28
D.27

答案： 2.B 【解析】由题意及等差数列的前$n$项和性质，得$a_{n+1}=S_{奇}-S_{偶}=290-261=29$.故选B.

3. [2024·杭州外国语学校周练]已知等差数列$\{ a_{n}\} $的前n项和为$S_{n}$,且$S_{10}=10,S_{20}=40$,则$S_{30}=$(A)

A.90
B.80
C.60
D.30

答案： 3.A 【解析】由等差数列的性质，知$S_{10},S_{20}-S_{10},S_{30}-S_{20},·s$构成等差数列，即$2(S_{20}-S_{10})=S_{30}-S_{20}+S_{10}$，所以$S_{30}=3×(S_{20}-S_{10})=3×(40-10)=90$.

4. [2024·太原五中月考]已知数列$\{ a_{n}\} $为等差数列,$S_{n}$是其前n项和,公差为d,若$\frac {S_{2024}}{2024}-\frac {S_{24}}{24}=2000$,且$a_{1}=-2024$,则$S_{2024}=$(A)

A.-2024
B.-2023
C.-2022
D.-2021

答案： 4.A 【解析】由等差数列$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$，知$\frac{S_{n}}{n}=a_{1}+\frac{n-1}{2}d$，所以$\frac{S_{2024}}{2024}-\frac{S_{24}}{24}=\frac{2024-24}{2}d=1000d=2000$，所以$d=2$,从而$\frac{S_{2024}}{2024}=a_{1}+\frac{2024-1}{2}d=-2024+\frac{2023}{2}×2=-1$，所以$S_{2024}=-2024$.故选A.

5. [2024·泉州五中月考]设等差数列$\{ a_{n}\} $的前n项和为$S_{n}$,若$a_{1}=-11,a_{3}+a_{7}=-6$,则当$S_{n}$取得最小值时,$n=$(A)

A.6
B.7
C.8
D.9

答案： 5.A 【解析】由题意，知$\begin{cases}a_{1}=-11,\\2a_{1}+8d=-6,\end{cases}$所以$d=2$，所以$a_{n}=-11+2(n-1)=2n-13\geq0$，即$n\geq6.5$，即从第7项开始各项为正，前6项均为负，故$S_{6}$最小.故选A.

6. [2024·郑州一中周练]若数列$\{ a_{n}\} $是等差数列,首项$a_{1}＜0,a_{203}+a_{204}＞0,a_{203}· a_{204}＜0$,则使前n项和$S_{n}＜0$的最大自然数$n=$405.

答案： 6.405 【解析】由$a_{203}+a_{204}＞0$，得$a_{1}+a_{406}＞0$，所以$S_{406}＞0$.又由$a_{1}＜0$，且$a_{203}· a_{204}＜0$，知$a_{203}＜0$，$a_{204}＞0$，所以公差$d＞0$，则数列$\{a_{n}\}$的前203项都是负数，那么$2a_{203}=a_{1}+a_{405}＜0$，所以$S_{405}＜0$，所以使前$n$项和$S_{n}＜0$的最大自然数$n=405$.

7. [2024·广东顺德中学月考]已知等差数列$\{ a_{n}\} $的前n项和为$S_{n}$,且$a_{1}=1,S_{12}＞0,S_{13}＜0$,则公差d的取值范围是$(-\frac{2}{11},-\frac{1}{6})$;在$S_{1},S_{2},·s,S_{12}$中,最大的是.

答案： 7.$(-\frac{2}{11},-\frac{1}{6})$【解析】由$\begin{cases}S_{12}＞0,\\S_{13}＜0,\end{cases}$得$\begin{cases}12a_{1}+\frac{12×11}{2}d＞0,\\13a_{1}+\frac{13×12}{2}d＜0,\end{cases}$因为$a_{1}=1$，所以$\begin{cases}1+\frac{11}{2}d＞0,\\1+6d＜0,\end{cases}$解得$-\frac{2}{11}＜d＜-\frac{1}{6}$.故公差$d$的取值范围为$(-\frac{2}{11},-\frac{1}{6})$.因为$S_{13}=\frac{13(a_{1}+a_{13})}{2}=13a_{7}＜0$，所以$a_{7}＜0$.

8. [2024·湖北武钢三中期中]7月份,有一款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件,以后每天售出的该款服装都比前一天多3件,当日销售量达到最大(只有1天)后,每天售出的该款服装都比前一天少2件,且7月31日当天刚好售出3件.
(1)求7月几日该款服装销售最多,最多售出几件;
(2)按规律,当该市场销售此服装达到200件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于20件时,则不再流行.求该款服装在社会上流行几天.

答案： 8.
(1)设7月$n$日售出的服装件数为$a_{n}(n\in N^{*},1\leq n\leq31)$，最多售出$a_{k}$件.由题意知$\begin{cases}a_{k}=3+3(k-1),\\a_{k}-2(31-k)=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=13,\\a_{k}=39,\end{cases}$所以7月13日该款服装销售最多，最多售出39件.
(2)设$S_{n}$是数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，由
(1)及题意知$a_{n}=\begin{cases}3n,1\leq n\leq13,\\65-2n,14\leq n\leq31,\end{cases}$所以$S_{n}=\begin{cases}\frac{(3+3n)n}{2},1\leq n\leq13,\\273+(51-n)(n-13),14\leq n\leq31.\end{cases}$因为$S_{13}=273＞200$，所以当$1\leq n\leq13$时，由$S_{n}＞200$，得$12\leq n\leq13$，当$14\leq n\leq31$时，日销售量连续下降，由$a_{n}＜20$，得$23\leq n\leq31$，所以该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).

9. [2024·延安一中期末]已知在各项均为正数的数列$\{ a_{n}\} $中,$a_{1}=1,a_{2}=2,2a_{n}^{2}=a_{n-1}^{2}+a_{n+1}^{2}(n\geq2)$.记$b_{n}=\frac {1}{a_{n}+a_{n+1}}$,数列$\{ b_{n}\} $的前n项和为$S_{n}$,若$S_{n}=3$,则n的值是(B)

A.99
B.33
C.48
D.9

答案： 9.B 【解析】因为$2a_{n}^{2}=a_{n-1}^{2}+a_{n+1}^{2}(n\geq2)$，所以数列$\{a_{n}^{2}\}$是公差为$d=a_{2}^{2}-a_{1}^{2}=2^{2}-1=3$的等差数列，所以$a_{n}^{2}=1+3(n-1)=3n-2$.又$a_{n}＞0$，所以$a_{n}=\sqrt{3n-2}$，所以$b_{n}=\frac{1}{a_{n}+a_{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{3n-2}+\sqrt{3n+1}}=\frac{1}{3}(\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2})$，故数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=\frac{1}{3}[(\sqrt{4}-\sqrt{1})+(\sqrt{7}-\sqrt{4})+·s+(\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2})]=\frac{1}{3}(\sqrt{3n+1}-1)$，由$S_{n}=\frac{1}{3}(\sqrt{3n+1}-1)=3$，解得$n=33$.故选B.

10. [2024·福州一中月考]已知等差数列$\{ a_{n}\} $满足$a_{3}=7,a_{5}+a_{7}=26,\{ a_{n}\} $的前n项和为$S_{n}$,则$a_{n}=$$2n+1$,$S_{n}=$$\frac{n(n+2)}{4(n+1)}$;令$b_{n}=\frac {1}{a_{n}^{2}-1}(n\in\mathbf{N}^{*})$,则数列$\{ b_{n}\} $的前n项和$T_{n}=$$\frac{n}{4(n+1)}$.

答案： 10.$2n+1$ $\frac{n(n+2)}{4(n+1)}$【解析】设等差数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公差为$d$，因为$a_{3}=7$，$a_{5}+a_{7}=26$，所以$a_{1}+2d=7$，$2a_{1}+10d=26$，解得$a_{1}=3$，$d=2$.所以$a_{n}=2n+1$，$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{n(2n+4)}{2}=n(n+2)$，$b_{n}=\frac{1}{a_{n}^{2}-1}=\frac{1}{4n(n+1)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$.故$T_{n}=b_{1}+b_{2}+·s+b_{n}=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+·s+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{n+1})=\frac{n}{4(n+1)}$，所以数列$\{b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}=\frac{n}{4(n+1)}$.