《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

9. [2024·邢台一中月考]已知$ a $是常数，函数$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}(1 - a)x^2 - ax + 2 $的导函数$ y = f'(x) $的图象如图，则函数$ g(x) = |a^x - 2| $的图象大致是(D)

答案： 9.D【解析】因为$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}(1 - a)x^{2}-ax + 2$，所以$f'(x)=x^{2}-(a - 1)x - a$.再由$f'(x)$的图象知$\begin{cases}f'(0)＜0,\\f'(1)＜0,\frac{a - 1}{2}＞0,\end{cases}$解得$a＞1$.因此函数$g(x)=|a^{x}-2|$的图象可能是D.

10. [2024·海南中学期末](多选)将函数$ y = f(x) $和$ y = f'(x) $的图象画在同一个平面直角坐标系中，不正确的有(ABD)

答案： 10.ABD【解析】对于A，由题中函数$y = f'(x)$的图象可知，$f'(0)=0$，但题中函数$y = f(x)$的图象在$x = 0$处的切线斜率不存在，故A不正确；对于B，由题中函数$y = f'(x)$的图象可知，函数$y = f(x)$存在单调递增区间，但题图中函数$y = f(x)$为减函数，故B不正确；对于C，由题中函数$y = f'(x)$的图象可知，函数$y = f(x)$在$R$上为增函数，故C正确；对于D，由题中函数$y = f'(x)$的图象可知，函数$y = f(x)$有两个单调区间，但题图中函数$y = f(x)$有三个单调区间，故D不正确.故选ABD.

11. [2024·郑州一中周练]已知函数$ f(x) $与$ f'(x) $的图象如图所示，则函数$ g(x) = \frac{f(x)}{e^x} $的单调递减区间为$(0,1)$，$(4,+\infty)$。

答案： 11.$(0,1)$，$(4,+\infty)$【解析】$g'(x)=\frac{f'(x)e^{x}-f(x)(e^{x})'}{(e^{x})^{2}}=\frac{f'(x)-f(x)}{e^{x}}$，由题中图象可知，当$x\in(0,1)$时，$f'(x)-f(x)＜0$，此时$g'(x)＜0$；当$x\in(4,+\infty)$时，$f'(x)-f(x)＜0$，此时$g'(x)＜0$，故函数$g(x)=\frac{f(x)}{e^{x}}$的单调递减区间为$(0,1)$和$(4,+\infty)$.

1. [2024·桂林中学月考]已知函数$ f(x) = e^{2x + 1} - e^{-2x} - mx $在$ \mathbf{R} $上为增函数，则实数$ m $的取值范围为(A)

A.$ (-\infty, 4\sqrt{e}] $
B.$ [4\sqrt{e}, +\infty) $
C.$ (-\infty, 2\sqrt{e}] $
D.$ [2\sqrt{e}, +\infty) $

答案： 1.A【解析】因为函数$f(x)=e^{2x + 1}-e^{-2x}-mx$在$R$上为增函数，所以$f'(x)=2e^{2x + 1}+2e^{-2x}-m\geq0$对$x\in R$恒成立，即$m\leq2e^{2x + 1}+2e^{-2x}$对$x\in R$恒成立.又因为$2e^{2x + 1}+2e^{-2x}\geq2\sqrt{2e^{2x + 1}×2e^{-2x}}=4\sqrt{e}$（当且仅当$2e^{2x + 1}=2e^{-2x}$，即$x = -\frac{1}{4}$时，等号成立），所以$m\leq4\sqrt{e}$.

2. [2024·山东师大附中单元检测]若函数$ f(x) = ax^3 + 3x^2 + x + b(a ＞ 0, b \in \mathbf{R}) $恰好有三个不同的单调区间，则实数$ a $的取值范围是(D)

A.$ (0, 3) \cup (3, +\infty) $
B.$ [3, +\infty) $
C.$ (0, 3] $
D.$ (0, 3) $

答案： 2.D【解析】由题意得$f'(x)=3ax^{2}+6x + 1(a＞0)$，因为函数$f(x)$恰好有三个不同的单调区间，所以$f'(x)$有两个不同的零点，所以$\Delta=36 - 12a＞0$，解得$0＜a＜3$，所以实数$a$的取值范围是$(0,3)$.故选D.

3. [2024·哈尔滨三中月考]若函数$ f(x) = 2x^2 - \ln x $在定义域内的一个子区间$ (k - 1, k + 1) $上不是单调函数，则实数$ k $的取值范围是(C)

A.$ \left[ -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $
B.$ \left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $
C.$ \left[ 1, \frac{3}{2} \right) $
D.$ \left( 1, \frac{3}{2} \right) $

答案： 3.C【解析】由题意，得函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=4x-\frac{1}{x}$.令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$或$x=-\frac{1}{2}$（舍去）.当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，$f'(x)＜0$，函数$f(x)$在区间$(0,\frac{1}{2})$上单调递减；当$x＞\frac{1}{2}$时，$f'(x)＞0$，函数$f(x)$在区间$(\frac{1}{2},+\infty)$上单调递增.因为函数$f(x)$在区间$(k - 1,k + 1)$上不是单调函数，所以$k - 1＜\frac{1}{2}＜k + 1$，解得$-\frac{1}{2}＜k＜\frac{3}{2}$.又$k - 1\geq0$，所以$1\leq k＜\frac{3}{2}$.故选C.

4. [2024·北京四中月考]已知函数$ f(x) = x^3 + ax^2 + (2a - 3)x - 1 $。
(1) 若$ f(x) $的单调递减区间为$ (-1, 1) $，求实数$ a $的值；
(2) 若$ f(x) $在区间$ (-1, 1) $内单调递减，求实数$ a $的取值范围。

答案： 4.由题意得$f'(x)=3x^{2}+2ax + 2a - 3=(x + 1)(3x + 2a - 3)$.
(1)因为$f(x)$的单调递减区间为$(-1,1)$，所以$-1$和$1$是方程$f'(x)=0$的两个根，所以$\frac{2a - 3}{3}=-1$，所以$a = 0$.
(2)因为$f(x)$在区间$(-1,1)$内单调递减，所以$f'(x)\leq0$在$(-1,1)$内恒成立（不恒为$0$）.又二次函数$y = f'(x)$的图象开口向上，方程$f'(x)=0$的一个根为$-1$，所以$\frac{3 - 2a}{3}\geq1$，所以$a\leq0$.所以实数$a$的取值范围是$\{a\mid a\leq0\}$.