《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024·东北三校联考](多选)以下运算正确的有 (BC)

A.$\left(\dfrac{1}{x}\right)'=\dfrac{1}{x^{2}}$
B.$(\sin x)'=\cos x$
C.$(2^{x})'=2^{x}\ln 2$
D.$(\lg x)'=-\dfrac{1}{x\ln 10}$

答案： 1.BC 【解析】对于A,因为$(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^{2}}$，所以 A不正确；对于B,因为$(\sin x)' = \cos x$，所以 B正确；对于 C,因为$(2^{x})' = 2^{x}\ln 2$，所以 C正确；对于D,因为$(\lg x)' = \frac{1}{x\ln 10}$，所以 D不正确. 故选 BC.

2. [2024·湖北四校联考]已知函数$f(x)=\log_{a}x(a＞0,且a\neq 1)$，若$f'(1)=1$，则$a=$ (A)

A.$\mathrm{e}$
B.$\dfrac{1}{\mathrm{e}}$
C.$\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}}$
D.$\dfrac{1}{2}$

答案： 2.A 【解析】因为$f(x) = \log_{a}x$，所以$f'(x) = \frac{1}{x\ln a}$.又因为$f'(1) = 1$，所以$\frac{1}{\ln a} = 1$，所以$a = e$. 故选 A.

3. [2024·泰安一中月考]设$f_{0}(x)=\sin x$，$f_{1}(x)=f_{0}'(x)$，$f_{2}(x)=f_{1}'(x)$，$·s$，$f_{n+1}(x)=f_{n}'(x)$，$n\in \mathbf{N}$，则$f_{\number{2024}}(x)=$ (A)

A.$\sin x$
B.$-\sin x$
C.$\cos x$
D.$-\cos x$

答案： 3.A 【解析】$f_{0}(x) = \sin x$，$f_{1}(x) = f_{0}'(x) = (\sin x)' = \cos x$，$f_{2}(x) = f_{1}'(x) = (\cos x)' = -\sin x$，$f_{3}(x) = f_{2}'(x) = (-\sin x)' = -\cos x$，$f_{4}(x) = f_{3}'(x) = (-\cos x)' = \sin x$. 故$f_{2024}(x) = f_{0}(x) = \sin x$. 故选 A.

4. 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{3},x＜0,\\\ln x,0＜x＜1,\end{cases}$ 若$f'(a)=12$，则实数$a$的值为 ______ .

答案： 4.$\frac{1}{12}$或$-2$ 【解析】$f'(x) = \begin{cases}3x^{2},x ＜ 0, \frac{1}{x},0 ＜ x ＜ 1.\end{cases}$若$f'(a) = 12$，则$\begin{cases}0 ＜ a ＜ 1, \frac{1}{a} = 12\end{cases}$或$\begin{cases}a ＜ 0, \\3a^{2} = 12,\end{cases}$解得$a = \frac{1}{12}$或$a = -2$.

5. [2024·湖北鄂南高中周练]求下列函数的导函数.
(1)$y=x\sqrt{x}$；
(2)$y=\sqrt[5]{x^{3}}$；
(3)$y=\log_{2}x^{2}-\log_{2}x$；
(4)$y=-2\sin \dfrac{x}{2}\left(1-2\cos^{2}\dfrac{x}{4}\right)$.

答案： 5.
(1)$y' = (x\sqrt{x})' = (x^{\frac{3}{2}})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.
(2)$y' = (\sqrt[5]{x^{3}})' = (x^{\frac{3}{5}})' = \frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1} = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}} = \frac{3}{5\sqrt[5]{x^{2}}}$.
(3)因为$y = \log_{2}x^{2} - \log_{2}x = \log_{2}x$，所以$y' = (\log_{2}x)' = \frac{1}{x\ln 2}$.
(4)因为$y = -2\sin\frac{x}{2}(1 - 2\cos^{2}\frac{x}{4}) = 2\sin\frac{x}{2}(2\cos^{2}\frac{x}{4} - 1) = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \sin x$，所以$y' = (\sin x)' = \cos x$.

6. 曲线$f(x)=\dfrac{1}{x}$在点$P$处的切线的倾斜角为$\dfrac{3\pi}{4}$，则点$P$的坐标为 (D)

A.$(1,1)$
B.$(-1,-1)$
C.$\left(\dfrac{1}{2},2\right)$
D.$(1,1)$或$(-1,-1)$

答案： 6.D 【解析】切线的斜率$k = \tan\frac{3\pi}{4} = -1$，设切点 P的坐标为$(x_{0},y_{0})$，则$f'(x_{0}) = -1$. 因为$f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$，所以$-\frac{1}{x_{0}^{2}} = -1$，解得$x_{0} = 1$或$-1$，所以切点 P的坐标为$(1,1)$或$(-1,-1)$. 故选 D.

7. [2024·武汉外国语学校单元检测]已知点$P$在曲线$y=2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}$上，$\alpha$为曲线在点$P$处的切线的倾斜角，则$\alpha$的取值范围是(D)

A.$\left \lbrack\dfrac{3\pi}{4},\pi\right)$
B.$\left \lbrack0,\dfrac{3\pi}{4}\right \rbrack$
C.$\left \lbrack\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right \rbrack$
D.$\left \lbrack0,\dfrac{\pi}{4}\right \rbrack\cup\left \lbrack\dfrac{3\pi}{4},\pi\right)$

答案： 7.D 【解析】因为$y = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \sin x$，所以$y' = \cos x$.由题意，知曲线在点 P处的切线的斜率存在. 设$P(x_{0},y_{0})$，则切线的斜率$k = \tan\alpha = \cos x_{0}$，所以$-1 \leq \tan\alpha \leq 1$.因为$0 \leq \alpha ＜ \pi$，所以$\alpha \in [0,\frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4},\pi)$. 故选 D.

8. 已知函数$f(x)=\ln x$，则函数$g(x)=f(x)-f'(x)$的零点所在的区间是 (B)

A.$(0,1)$
B.$(1,2)$
C.$(2,3)$
D.$(3,4)$

答案： 8.B 【解析】由$f(x) = \ln x$，得$f'(x) = \frac{1}{x}$，则$g(x) = f(x) - f'(x) = \ln x - \frac{1}{x}$.易知函数$g(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，且函数$g(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数.因为$g(1) = \ln 1 - 1 = -1 ＜ 0$，$g(2) = \ln 2 - \frac{1}{2} = \ln 2 - \ln\sqrt{e} ＞ 0$，所以函数$g(x)$在区间$(1,2)$上有唯一零点.

9. [2024·温州三中期中](多选)已知函数$f(x)$及其导数$f'(x)$，若存在$x_{0}$，使得$f(x_{0})=f'(x_{0})$，则称$x_{0}$是$f(x)$的一个“巧值点”。下列函数中，有“巧值点”的有 (ACD)

A.$f(x)=x^{2}$
B.$f(x)=\mathrm{e}^{-x}$
C.$f(x)=\ln x$
D.$f(x)=\dfrac{1}{x}$

答案： 9.ACD 【解析】在 A中，若$f(x) = x^{2}$，则$f'(x) = 2x$，则$x^{2} = 2x$，这个方程显然有解，故 A符合要求；在 B中，若$f(x) = e^{-x}$，则$f'(x) = [(\frac{1}{e})^{x}]' = (\frac{1}{e})^{x}\ln\frac{1}{e} = -e^{-x}$，即$e^{-x} = -e^{-x}$，此方程无解，故 B不符合要求；在 C中，若$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{1}{x}$，由$\ln x = \frac{1}{x}$，数形结合可知该方程存在实数解，故 C符合要求；在 D中，若$f(x) = \frac{1}{x}$，则$f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$，由$-\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$，可得$x = -1$，故 D符合要求. 故选 ACD.

10. [2024·惠州一中周练]过曲线$y=\cos x$上一点$P\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{1}{2}\right)$且与曲线在点$P$处的切线垂直的直线的方程为$2x - \sqrt{3}y - \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

答案： 10.$2x - \sqrt{3}y - \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ 【解析】因为$y = \cos x$，所以$y' = -\sin x$，曲线在点$P(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2})$处的切线斜率是$y'|_{x = \frac{\pi}{3}} = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以过点 P且与曲线在点 P处的切线垂直的直线的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以所求直线方程为$y - \frac{1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}(x - \frac{\pi}{3})$，即$2x - \sqrt{3}y - \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

11. [2024·徐州一中月考]若曲线$y=x^{-\frac{1}{2}}$在点$(m,m^{-\frac{1}{2}})$处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为$18$，则$m=$$64$$$.

答案： 11.64 【解析】因为$y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$，所以曲线$y = x^{-\frac{1}{2}}$在点$(m,m^{-\frac{1}{2}})$处的切线方程为$y - m^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} · m^{-\frac{3}{2}}(x - m)$，令$x = 0$，得$y = \frac{3}{2}m^{-\frac{1}{2}}$，令$y = 0$，得$x = 3m$.由题意可得，$\frac{1}{2} × \frac{3}{2}m^{-\frac{1}{2}} × 3m = 18$，解得$m = 64$.

12. [2024·兰州一中月考]已知$P$为曲线$y=\ln x$上的一动点，$Q$为直线$y=x+1$上的一动点，则$|PQ|$的最小值为$\sqrt{2}$.

答案：
12.$\sqrt{2}$ 【解析】如图，当直线$l$与曲线$y = \ln x$相切且与直线$y = x + 1$平行时，切点到直线$y = x + 1$的距离即为$|PQ|$的最小值.易知$(\ln x)' = \frac{1}{x}$，令$\frac{1}{x} = 1$，得$x = 1$，故此时点 P的坐标为$(1,0)$，所以$|PQ|$的最小值为$\sqrt{2}$.