《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024·福州一中期末]已知某质点的运动方程为$ s = 2t^2 - t $，其中$ s $的单位是$ m $，$ t $的单位是$ s $，则该质点在$ 2\ s $末的瞬时速度为(C)

A.$ 3\ m/s $
B.$ 5\ m/s $
C.$ 7\ m/s $
D.$ 9\ m/s $

答案： 1.C 【解析$】\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2(2 + \Delta t)^2 - (2 + \Delta t) - (2 × 2^2 - 2)}{\Delta t} = $
$\lim_{\Delta t \to 0}(7 + 2\Delta t) = 7，$所以该质点在2s末的瞬时速度为7m/s.
故选C.

2. [2024·福建师大附中期中](多选)如图所示是物体甲、乙在时间$ 0 $到$ t_1 $范围内，路程的变化情况，下列说法错误的有 (ABD)


A.在$ 0 $到$ t_0 $范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在$ 0 $到$ t_0 $范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在$ t_0 $到$ t_1 $范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在$ t_0 $到$ t_1 $范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度

答案： 2.ABD 【解析】在0到$t_0$范围内，甲、乙的平均速度都为$\bar{v} = \frac{s_0}{t_0}，$故A，B错误.在$t_0$到$t_1$范围内，甲的平均速度为$\frac{s_2 - s_0}{t_1 - t_0}，$乙的平均速度为$\frac{s_1 - s_0}{t_1 - t_0}.$因为$s_2 - s_0 ＞ s_1 - s_0，$$t_1 - t_0 ＞ 0，$所以$\frac{s_2 - s_0}{t_1 - t_0} ＞ \frac{s_1 - s_0}{t_1 - t_0}，$故C正确，D错误.故选ABD.

3. [2024·信阳二中周练]航天飞机升空后一段时间内，第$ t\ s $时的高度为$ h(t) = 5t^3 + 30t^2 + 45t + 4 $，其中$ h $的单位为$ m $，$ t $的单位为$ s $。
(1)$ h(0) $，$ h(1) $，$ h(2) $分别表示什么？
(2)求第$ 2\ s $内的平均速度；
(3)求第$ 2\ s $末的瞬时速度。

答案： 3.
(1)h
(0)表示航天飞机起飞前的高度；h
(1)表示航天飞机升空后第1s时的高度；h
(2)表示航天飞机升空后第2s时的高度.
(2)航天飞机升空后第2s内的平均速度为
$\bar{v} = \frac{h(2) - h(1)}{2 - 1} = 170(m/s).$
(3)第2s末的瞬时速度为
$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta h}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{h(2 + \Delta t) - h(2)}{\Delta t}$
$= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{5(\Delta t)^3 + 60(\Delta t)^2 + 225\Delta t}{\Delta t}$
= 225(m/s).

4. [2024·湖北团风中学周练]已知函数$ f(x) = x^2 + 3 $图象上四点$ A(1, f(1)) $，$ B(2, f(2)) $，$ C(3, f(3)) $，$ D(4, f(4)) $，割线$ AB $，$ BC $，$ CD $的斜率分别为$ k_1 $，$ k_2 $，$ k_3 $，则(A)

A.$ k_1 ＜ k_2 ＜ k_3 $
B.$ k_2 ＜ k_1 ＜ k_3 $
C.$ k_3 ＜ k_2 ＜ k_1 $
D.$ k_1 ＜ k_3 ＜ k_2 $

答案： 4.A 【解析$】k_1 = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = 7 - 4 = 3，$$k_2 = \frac{f(3) - f(2)}{3 - 2} = 12 - 7 = 5，$$k_3 = \frac{f(4) - f(3)}{4 - 3} = 19 - 12 = 7，$所以$k_1 ＜ k_2 ＜ k_3.$故选A.

5. [2024·阳泉一中单元检测]在曲线$ y = x^2 $上取一点$ (1, 1) $及附近一点$ (1 + \Delta x, 1 + \Delta y) $，则曲线在点$ (1, 1) $处的切线的斜率为(B)

A.$ \Delta x + \dfrac{1}{\Delta x} + 2 $
B.$ 2 $
C.$ \Delta x + 2 $
D.$ 2 + \Delta x - \dfrac{1}{\Delta x} $

答案： 5.B 【解析】设$f(x) = x^2，$则$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1 + \Delta x)^2 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}(\Delta x + 2) = 2.$故选B.

6. [2024·兰州一中月考]若曲线$ y = x^2 - x + c $上一点$ P $的横坐标是$ -2 $，在点$ P $处的切线恰好过坐标原点$ O $，则实数$ c = $4$ $。

答案： 6.4 【解析】抛物线在点P处切线的斜率为
$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[(-2 + \Delta x)^2 - (-2 + \Delta x) + c] - (6 + c)}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-5\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = -5.$
因为点P的横坐标是-2，所以点P的纵坐标是6 + c，故直线OP的斜率为$\frac{6 + c}{2}.$根据题意有$\frac{6 + c}{2} = -5，$解得
c = 4.

7. 已知函数$ f(x) = -x^2 + x $图象上两点$ A(2, f(2)) $，$ B(2 + \Delta x, f(2 + \Delta x))(\Delta x ＞ 0) $。
(1)若割线$ AB $的斜率不大于$ -1 $，求$ \Delta x $的取值范围；
(2)求函数$ f(x) = -x^2 + x $的图象在点$ A(2, f(2)) $处切线的方程。

答案： 7.
(1)由题意得，割线AB的斜率为
$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(2 + \Delta x) - f(2)}{\Delta x}$
$= \frac{-(2 + \Delta x)^2 + (2 + \Delta x) - (-4 + 2)}{\Delta x}$
$= \frac{-4\Delta x + \Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x}$
$= -3 - \Delta x，$
由$-3 - \Delta x \leq -1，$得$\Delta x \geq -2.$因为$\Delta x ＞ 0，$所以$\Delta x$的取值范围是$(0, +\infty).$
(2)由
(1)知函数$f(x) = -x^2 + x$的图象在点A(2, f
(2))处切线的斜率为$k = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}(-3 - \Delta x) = -3.$因为
$f(2) = -2^2 + 2 = -2，$所以切线的方程为y - (-2) = -3(x - 2)，即3x + y - 4 = 0.