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2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
7. [2024·南昌一中月考]用数学归纳法证明：
(1) $n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3(n \in \mathbf{N}^*)$能被$9$整除；
(2) $a^{n + 1} + (a + 1)^{2n - 1}$能被$a^2 + a + 1$整除（其中$n$，$a$为正整数）.
(1) $n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3(n \in \mathbf{N}^*)$能被$9$整除；
(2) $a^{n + 1} + (a + 1)^{2n - 1}$能被$a^2 + a + 1$整除（其中$n$，$a$为正整数）.
答案：
7.证明：
(1)①当$n=1$时，$1^3+(1+1)^3+(1+2)^3=36$，能被$9$整除，命题成立.
②假设$n=k(k\in\mathbf{N}^*)$时，命题成立，即$k^3+(k+1)^3+(k+2)^3$能被$9$整除.当$n=k+1$时，$(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3=(k+1)^3+(k+2)^3+k^3+3k^2·3+3k·3^2+3^3=k^3+(k+1)^3+(k+2)^3+9(k^2+3k+3)$.由归纳假设，上式中$k^3+(k+1)^3+(k+2)^3$能被$9$整除.因为$9(k^2+3k+3)$也能被$9$整除，所以$n=k+1$时命题也成立.由①②可知，对任意$n\in\mathbf{N}^*$命题成立.
(2)①当$n=1$时，$a^{n+1}+(a+1)^{2n-1}=a^2+a+1$，能被$a^2+a+1$整除.
②假设当$n=k$时，$a^{k+1}+(a+1)^{2k-1}$能被$a^2+a+1$整除.当$n=k+1$时，$a^{k+2}+(a+1)^{2k+1}=(a+1)^2[a^{k+1}+(a+1)^{2k-1}]+a^{k+1}-a^{k+1}(a+1)^2=(a+1)^2[a^{k+1}+(a+1)^{2k-1}]-a^{k+1}(a^2+a+1)$，能被$a^2+a+1$整除.由①②知$a^{n+1}+(a+1)^{2n-1}$能被$a^2+a+1$整除($a,a$为正整数)。
(1)①当$n=1$时，$1^3+(1+1)^3+(1+2)^3=36$，能被$9$整除，命题成立.
②假设$n=k(k\in\mathbf{N}^*)$时，命题成立，即$k^3+(k+1)^3+(k+2)^3$能被$9$整除.当$n=k+1$时，$(k+1)^3+(k+2)^3+(k+3)^3=(k+1)^3+(k+2)^3+k^3+3k^2·3+3k·3^2+3^3=k^3+(k+1)^3+(k+2)^3+9(k^2+3k+3)$.由归纳假设，上式中$k^3+(k+1)^3+(k+2)^3$能被$9$整除.因为$9(k^2+3k+3)$也能被$9$整除，所以$n=k+1$时命题也成立.由①②可知，对任意$n\in\mathbf{N}^*$命题成立.
(2)①当$n=1$时，$a^{n+1}+(a+1)^{2n-1}=a^2+a+1$，能被$a^2+a+1$整除.
②假设当$n=k$时，$a^{k+1}+(a+1)^{2k-1}$能被$a^2+a+1$整除.当$n=k+1$时，$a^{k+2}+(a+1)^{2k+1}=(a+1)^2[a^{k+1}+(a+1)^{2k-1}]+a^{k+1}-a^{k+1}(a+1)^2=(a+1)^2[a^{k+1}+(a+1)^{2k-1}]-a^{k+1}(a^2+a+1)$，能被$a^2+a+1$整除.由①②知$a^{n+1}+(a+1)^{2n-1}$能被$a^2+a+1$整除($a,a$为正整数)。
8. [2024·大庆一中单元检测]证明：凸$n$边形的对角线的条数为$f(n) = \frac{1}{2}n(n - 3)(n \geq 4$，$n \in \mathbf{N}^*)$.
答案：
8.证明：①当$n=4$时，$f(4)=\frac{1}{2}×4×(4-3)=2$，凸四边形有两条对角线，命题成立.
②假设$n=k(k\geqslant4,k\in\mathbf{N}^*)$时命题成立，即凸$k$边形的对角线的条数$f(k)=\frac{1}{2}k(k-3)(k\geqslant4)$，当$n=k+1$时，凸$(k+1)$边形是在$k$边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设该顶点为$A_{k+1}$，增加的对角线是顶点$A_{k+1}$与不相邻顶点的连线再加上原$k$边形一边$A_1A_k$，共增加了$k-2+1=(k-1)(条)$对角线.所以$f(k+1)=\frac{1}{2}k(k-3)+k-1=\frac{1}{2}(k^2-k-2)=\frac{1}{2}(k+1)(k-2)=\frac{1}{2}(k+1)[(k+1)-3]$.故当$n=k+1$时命题成立.由①②知，对任意$n\geqslant4,n\in\mathbf{N}^*$，命题成立.
②假设$n=k(k\geqslant4,k\in\mathbf{N}^*)$时命题成立，即凸$k$边形的对角线的条数$f(k)=\frac{1}{2}k(k-3)(k\geqslant4)$，当$n=k+1$时，凸$(k+1)$边形是在$k$边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设该顶点为$A_{k+1}$，增加的对角线是顶点$A_{k+1}$与不相邻顶点的连线再加上原$k$边形一边$A_1A_k$，共增加了$k-2+1=(k-1)(条)$对角线.所以$f(k+1)=\frac{1}{2}k(k-3)+k-1=\frac{1}{2}(k^2-k-2)=\frac{1}{2}(k+1)(k-2)=\frac{1}{2}(k+1)[(k+1)-3]$.故当$n=k+1$时命题成立.由①②知，对任意$n\geqslant4,n\in\mathbf{N}^*$，命题成立.
9. [2024·武汉二中月考]已知点$P_n(a_n, b_n)$满足$a_{n + 1} = a_n · b_{n + 1}$，$b_{n + 1} = \frac{b_n}{1 - 4a_n^2}(n \in \mathbf{N}^*)$，且点$P_1$的坐标为$(1, -1)$.
(1) 求过点$P_1$，$P_2$的直线$l$的方程；
(2) 试用数学归纳法证明：对$n \in \mathbf{N}^*$，点$P_n$都在(1)中的直线$l$上.
(1) 求过点$P_1$，$P_2$的直线$l$的方程；
(2) 试用数学归纳法证明：对$n \in \mathbf{N}^*$，点$P_n$都在(1)中的直线$l$上.
答案：
9.
(1)由点$P_1$的坐标为$(1,-1)$知$a_1=1,b_1=-1$，所以$b_2=\frac{b_1}{1-4a_1^2}=\frac{1}{3},a_2=a_1· b_2=\frac{1}{3}$，所以点$P_2$的坐标为$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，故直线$l$的方程为$2x+y=1$。
(2)证明：①当$n=1$时，$2a_1+b_1=2×1+(-1)=1$，命题成立.
②假设当$n=k(k\in\mathbf{N}^*)$时，$2a_k+b_k=1$成立，则当$n=k+1$时，$2a_{k+1}+b_{k+1}=\frac{b_k}{1-4a_k^2}·(2a_k+\frac{b_k}{1-4a_k^2}·1)=\frac{b_k}{1-2a_k}=1$，故当$n=k+1$时，命题也成立.由①②知，对任何$n\in\mathbf{N}^*$，都有$2a_n+b_n=1$成立，即点$P_n$在直线$l$上.
(1)由点$P_1$的坐标为$(1,-1)$知$a_1=1,b_1=-1$，所以$b_2=\frac{b_1}{1-4a_1^2}=\frac{1}{3},a_2=a_1· b_2=\frac{1}{3}$，所以点$P_2$的坐标为$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$，故直线$l$的方程为$2x+y=1$。
(2)证明：①当$n=1$时，$2a_1+b_1=2×1+(-1)=1$，命题成立.
②假设当$n=k(k\in\mathbf{N}^*)$时，$2a_k+b_k=1$成立，则当$n=k+1$时，$2a_{k+1}+b_{k+1}=\frac{b_k}{1-4a_k^2}·(2a_k+\frac{b_k}{1-4a_k^2}·1)=\frac{b_k}{1-2a_k}=1$，故当$n=k+1$时，命题也成立.由①②知，对任何$n\in\mathbf{N}^*$，都有$2a_n+b_n=1$成立，即点$P_n$在直线$l$上.
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