《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024·宜昌调研]已知等比数列$\{ a_{n}\}$为递增数列，且$a_{5}^{2}=a_{10}$，$2(a_{n}+a_{n+2})=5a_{n+1}$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式$a_{n}=$(A)

A.$2^{n}$
B.$2^{n+1}$
C.$\left( \dfrac {1}{2}\right)^{n}$
D.$\left( \dfrac {1}{2}\right)^{n+1}$

答案： 1.A 【解析】由数列$\{a_n\}$为递增的等比数列，可知公比$q＞0$，而$a_5^2=a_{10}＞0$，所以$a_n＞0$，$q＞1$.由$2(a_n+a_{n+2})=5a_{n+1}$，得$2a_n+2a_nq^2=5a_nq$，则$2q^2-5q+2=0$，解得$q=2$.由$a_5^2=a_{10}$，得$(a_1q^4)^2=a_1q^9$，解得$a_1=2$.因此$a_n=2^n$.

2. [2024·惠安一中期中]以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”。

该数表由若干数组成，从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(B)

A.$2025× 2^{2023}$
B.$2025× 2^{2022}$
C.$2024× 2^{2023}$
D.$2024× 2^{2022}$

答案： 2.B 【解析】由题意知，数表中的每一行都是等差数列，且第1行公差为1，第2行公差为2，第3行公差为4……第$n$行公差为$2^{n-1}$.第1行的第一个数为$2×2^{-1}$，第2行的第一个数为$3×2^0$，第3行的第一个数为$4×2^1$……第$n$行的第一个数为$(n+1)×2^{n-2}$，易知第2024行只有一个数$M$，则$M=(1+2024)×2^{2022}=2025×2^{2022}$.故选B.

3. [2024·遵义一中期中]在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=10$，且$a_{n+1}=a_{n}^{2}$，$a_{n} ＞ 0$，则$a_{n}=$(C)

A.$2^{n-1}$
B.$10^{n-1}$
C.$10^{2^{n-1}}$
D.$10^{2^{n-2}}$

答案： 3.C 【解析】因为$a_n＞0$，由$a_{n+1}=a_n^2$得$\lg a_{n+1}=\lg a_n^2=2\lg a_n$，所以$\frac{\lg a_{n+1}}{\lg a_n}=2$，所以$\{\lg a_n\}$是首项为1，公比为2的等比数列，所以$\lg a_n=\lg a_1·2^{n-1}=2^{n-1}$，所以$a_n=10^{2^{n-1}}$.

4. [2024·天津一中月考]定义：在数列$\{ a_{n}\}$中，若满足$\dfrac {a_{n+2}}{a_{n+1}}-\dfrac {a_{n+1}}{a_{n}}=d$($n\in \mathbf{N}^{*}$，$d$为常数)，则称$\{ a_{n}\}$为“等差比数列”。已知在“等差比数列”$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=a_{2}=1$，$a_{3}=3$，则$\dfrac {a_{2024}}{a_{2022}}=$(B)

A.$4× 2023^{2}-1$
B.$4× 2022^{2}-1$
C.$4× 2021^{2}-1$
D.$4× 2020^{2}-1$

答案： 4.B 【解析】由题意得，$\frac{a_2}{a_1}=1$，$\frac{a_3}{a_2}=3$，所以$\frac{a_3}{a_2}·\frac{a_2}{a_1}=2$，所以数列$\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\}$是首项为1，公差为2的等差数列，所以$\frac{a_{n+1}}{a_n}=2n-1$，所以$\frac{a_{2024}}{a_{2022}}=\frac{a_{2024}}{a_{2023}}×\frac{a_{2023}}{a_{2022}}=(2×2023-1)×(2×2022-1)=(2×2022+1)×(2×2022-1)=4×2022^2-1$.故选B.

5. [2024·龙岩一中月考]已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，且$a_{n}=\dfrac {1}{3}a_{n-1}+\left( \dfrac {1}{3}\right)^{n}(n\geqslant 2)$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式$a_{n}=$$\frac{n+2}{3^n}$。

答案： 5.$\frac{n+2}{3^n}$【解析】因为$a_n=\frac{1}{3}a_{n-1}+(\frac{1}{3})^n(n\geq2)$，所以$3^na_n=3^{n-1}a_{n-1}+1(n\geq2)$，即$3^na_n-3^{n-1}a_{n-1}=1(n\geq2)$.又$a_1=1$，$3^1· a_1=3$，所以数列$\{3^na_n\}$是以3为首项，1为公差的等差数列，所以$3^na_n=3+(n-1)×1=n+2$，所以数列$\{a_n\}$的通项公式$a_n=\frac{n+2}{3^n}$.

6. 在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，且当$n\geqslant 2$时，$a_{n}=\dfrac {a_{n-1}}{2a_{n-1}+1}$，则通项公式$a_{n}=$$\frac{1}{2n-1}$。

答案： 6.$\frac{1}{2n-1}$【解析】将$a_n=\frac{a_{n-1}}{2a_{n-1}+1}$等式两边取倒数，得$\frac{1}{a_n}=\frac{2a_{n-1}+1}{a_{n-1}}=2+\frac{1}{a_{n-1}}$，故$\{\frac{1}{a_n}\}$是一个等差数列，首项是$\frac{1}{a_1}=1$，公差为2，所以$\frac{1}{a_n}=1+(n-1)×2=2n-1$，即$a_n=\frac{1}{2n-1}$.

7. [2024·合肥一中月考]在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=\dfrac {1}{2}$，$a_{n+1}=a_{n}+\dfrac {1}{n^{2}+n}$，则$a_{n}=$(B)

A.$1-\dfrac {1}{n}$
B.$\dfrac {3}{2}-\dfrac {1}{n}$
C.$\dfrac {1}{2}-\dfrac {1}{n}$
D.$\dfrac {3}{2}-\dfrac {2}{n}$

答案： 7.B 【解析】易知$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，即$(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+·s+(a_n-a_{n-1})=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+·s+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$，
所以$a_n-a_1=1-\frac{1}{n}$.因为$a_1=\frac{1}{2}$，所以$a_n=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}$

8. [2024·泉州七中月考]设数列$\{ a_{n}\}$是首项为1的正项数列，且$(n+1)a_{n+1}^{2}-na_{n}^{2}+a_{n+1}a_{n}=0$($n=1,2,3,·s$)，则$a_{n}=$$\frac{1}{n}$。

答案： 8.$\frac{1}{n}$【解析】原式可化为$[(n+1)a_{n+1}-na_n](a_{n+1}+a_n)=0$.因为$a_{n+1}+a_n＞0$，所以$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}$，则$\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{2}$，$\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}{3}$，$\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}{4}$，$·s$，$\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{n}$，逐项相乘，得$\frac{a_n}{a_1}=\frac{1}{n}$.又$a_1=1$，所以$a_n=\frac{1}{n}$.

9. 设数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=2$，$a_{n+1}-a_{n}=3· 2^{2n-1}$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式$a_{n}=$$2^{2n-1}$。

答案： 9.$2^{2n-1}$【解析】由已知得，当$n\geq1$时，$a_{n+1}=[(a_{n+1}-a_n)+(a_n-a_{n-1})+·s+(a_2-a_1)]+a_1=3(2^{2n-1}+2^{2n-3}+·s+2)+2=2^{2(n+1)-1}$.而$a_1=2$，所以数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2^{2n-1}$.

10. [2024·遵义四中月考]在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n}=\dfrac {n^{2}}{n^{2}-1}a_{n-1}$($n\geqslant 2$，$n\in \mathbf{N}^{*}$)，则数列$\left\{ \dfrac {a_{n}}{n^{2}}\right\}$的前$n$项和$T_{n}=$$\frac{2n}{n+1}$。

答案： 10.$\frac{2n}{n+1}$【解析】令$b_n=\frac{a_n}{n^2}$，由数列的递推公式，可得$\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{n-1}{n+1}$，且$b_1=\frac{a_1}{1^2}=1$，则$b_n=b_n×\frac{b_{n-1}}{b_{n-2}}×\frac{b_{n-2}}{b_{n-3}}×·s×\frac{b_2}{b_1}× b_1=1×\frac{1}{3}×\frac{2}{4}×\frac{3}{5}×·s×\frac{n-1}{n+1}=\frac{2}{n(n+1)}$，所以$T_n=1+\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+·s+\frac{2}{n(n+1)}=1+2(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+·s+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1+2(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1})=\frac{2n}{n+1}$.

11. [2024·泉州五中月考]已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n+1}=3a_{n}+2× 3^{n}+1$，$a_{1}=3$，求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式。

答案： 11.将$a_{n+1}=3a_n+2×3^n+1$两边同时除以$3^{n+1}$，得$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{2}{3}+\frac{1}{3^{n+1}}$，所以$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\frac{a_n}{3^n}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3^{n+1}}$，所以$\frac{a_n}{3^n}=(\frac{a_n}{3^n}-\frac{a_{n-1}}{3^{n-1}})+(\frac{a_{n-1}}{3^{n-1}}-\frac{a_{n-2}}{3^{n-2}})+·s+(\frac{a_2}{3^2}-\frac{a_1}{3^1})+\frac{a_1}{3}=\frac{2(n-1)}{3}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3^{n-2}}+\frac{1}{3^{n-1}}+·s+\frac{1}{3^n})+1=\frac{2n}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3^{n-1}}×(1-\frac{1}{3^{n-1}})+1$，所以$a_n=\frac{2n×3^n}{3}+\frac{3^n}{2}-\frac{1}{2}$.