《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024·北京十一中期中]给出下列数列：
①$1,1,1,1,·s$；②$2,22,222,·s$；
③$-1,1,-1,1,·s$；④$-7,-4,-1,2,·s$；
⑤$1,2,3,5,8,·s$；⑥$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},·s$。
其中是等差数列的有(B)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 1.B 【解析】只有①和④为等差数列，公差分别为0和3，其余均不是等差数列.故选B.

2. 下列数列中不是等差数列的是(C)

A.$a - d,a,a + d$
B.$2,4,6,8,·s,2(n - 1),2n$
C.$a - 2d,a - d,a + d,a + 2d(d\neq0)$
D.$a_{n - 1}=a_{n}-\frac{1}{2}(n\in\mathbf{N}^*,n\gt1)$

答案： 2.C 【解析】对于C，因为a - d - (a - 2d) = d，而(a + d) - (a - d) = 2d，且d ≠ 0，即第3项与第2项的差不等于第2项与第1项的差.故选C.

3. [2024·广东广雅中学期中](多选)下列命题中为真命题的有(BCD)

A.若$a,b,c$构成等差数列，则$a^2,b^2,c^2$一定构成等差数列
B.若$a,b,c$构成等差数列，则$2^a,2^b,2^c$可能构成等差数列
C.若$a,b,c$构成等差数列，则$ka + 2,kb + 2,kc + 2(k$为常数$)$一定构成等差数列
D.若$a,b,c$构成等差数列，则$\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$可能构成等差数列

答案： 3.BCD 【解析】对于A，取a = 1，b = 2，c = 3，则$a^2 = 1，$$b^2 = 4，$$c^2 = 9，$此时$a^2，$$b^2，$$c^2$不构成等差数列，故A是假命题；对于B，令a = b = c，则2^a = 2^b = 2^c，此时2^a，2^b，2^c是公差为0的等差数列，故B是真命题；对于C，因为a，b，c构成等差数列，所以b - a = c - b = m（m为常数）.又(kb + 2) - (ka + 2) = k(b - a)，(kc + 2) - (kb + 2) = k(c - b)，所以(kb + 2) - (ka + 2) = (kc + 2) - (kb + 2) = km（km为常数），故C是真命题；对于D，令a = b = c ≠ 0，则$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c}，$此时$\frac{1}{c}，$$\frac{1}{a}，$$\frac{1}{b}，$$\frac{1}{c}$是公差为0的等差数列，故D是真命题.故选BCD.

4. [2024·贵阳一中期中]若$a=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}},b=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，则$a,b$的等差中项为(A)

A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： 4.A 【解析】因为$a = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}，$$b = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}，$所以a，b的等差中项为$\frac{a + b}{2} = \sqrt{3}.$故选A.

5. [2024·银川一中周练]设$x$是$a$与$b$的等差中项，$x^2$是$a^2$与$-b^2$的等差中项，则$a$与$b$的关系为(C)

A.$a = -b$
B.$a = 3b$
C.$a = -b$或$a = 3b$
D.$a = b = 0$

答案： 5.C 【解析】由等差中项的定义知$x = \frac{a + b}{2}，$$x^2 = \frac{a^2 - b^2}{2}，$所以$\frac{a^2 - b^2}{2} = (\frac{a + b}{2})^2，$即$a^2 - 2ab - 3b^2 = 0.$故a = -b或a = 3b.

6. [2024·深圳中学月考]已知$\{a_n\}$为等差数列，若$a_1 = 1$，公差$d = 2$，$a_n = 15$，则$n$的值为(D)

A.5
B.6
C.7
D.8

答案： 6.D 【解析】因为$a_1 = 1，$d = 2，所以$a_n = a_1 + (n - 1) · d = 1 + 2n - 2 = 2n - 1.$又a_n = 15，所以2n - 1 = 15，解得n = 8.故选D.

7. [2024·大庆实验中学月考](多选)在无穷等差数列$\{a_n\}$中，首项$a_1 = 3$，公差$d = -5$，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列$\{b_n\}$，则下列说法正确的有(AC)

A.$b_1 = -7$
B.$b_2 = 27$
C.$a_n = 8 - 5n$
D.$\{b_n\}$中的第506项是$\{a_n\}$中的第2024项

答案： 7.AC 【解析】因为$a_1 = 3，$d = -5，所以a_n = 3 + (n - 1) × (-5) = 8 - 5n，故C正确；数列{a_n}中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项……所以$b_1 = a_3 = -7，$$b_2 = a_7 = -27，$故A正确，B错误；对于D，设{a_n}中的第m项是{b_n}中的第k项，则m = 3 + 4(k - 1) = 4k - 1，所以当k = 506时，m = 4 × 506 - 1 = 2023，即{b_n}中的第506项是{a_n}中的第2023项，故D错误.故选AC.

8. [2024·太原二中月考]在等差数列$-5,-\frac{7}{2},-2,-\frac{1}{2},·s$的每相邻两项中插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项公式为a_n = \frac{3}{4}n - \frac{23}{4}。

答案： $8.a_n = \frac{3}{4}n - \frac{23}{4} 【$解析】新的等差数列的公差$d = \frac{1}{2} × (-\frac{7}{2} + 5) = \frac{3}{4}，$所以$a_n = -5 + (n - 1) × \frac{3}{4} = \frac{3}{4}n - \frac{23}{4}$

9. 已知等差数列$\{a_n\}$为$3,7,11,15,·s$。
(1) 求$\{a_n\}$的通项公式；
(2) $135,4m + 19(m\in\mathbf{N}^*)$是数列$\{a_n\}$中的项吗？为什么？
(3) 若$a_m,a_t(m,t\in\mathbf{N}^*)$是$\{a_n\}$中的项，那么$2a_m + 3a_t$是数列$\{a_n\}$中的项吗？请说明理由。

答案： 9.
(1)设数列{a_n}的公差为d.
依题意，有$a_1 = 3，$d = 7 - 3 = 4，所以a_n = 3 + 4(n - 1) = 4n - 1.
(2)令4n - 1 = 135，得n = 34，所以135是数列{a_n}中的项，且为第34项.
因为4m + 19 = 4(m + 5) - 1，且m ∈ N^*，所以4m + 19是数列{a_n}中的项，且为第(m + 5)项.
(3)因为a_m，a_t是数列{a_n}中的项，所以a_m = 4m - 1，a_t = 4t - 1，
所以2a_m + 3a_t = 2(4m - 1) + 3(4t - 1) = 4(2m + 3t - 1) - 1.
因为2m + 3t - 1 ∈ N^*，所以2a_m + 3a_t是数列{a_n}中的项，且为第(2m + 3t - 1)项.