《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024·鞍山一中月考]函数$ y = f(x) $是定义在$ \mathbf{R} $上的可导函数，则$ y = f(x) $为$ \mathbf{R} $上的增函数是$ f'(x) ＞ 0 $的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.B【解析】由导数与函数单调性的关系可知，若$\forall x\in D$，$f'(x)＞0$，则$f(x)$在$D$内单调递增.所以当$x\in R$时，$f'(x)＞0$，则$f(x)$在$R$上单调递增，即$f(x)$为$R$上的增函数，所以必要性成立；而当$f(x)$为$R$上的增函数时，$f'(x)\geq0$，如$f(x)=x^{3}$在$R$上是增函数，但$f'(x)=3x^{2}\geq0$，所以充分性不成立.故选B.

2. 如图所示是函数$ y = f(x) $的导函数$ y = f'(x) $的图象，则下列判断正确的是(C)


A.在区间$ (-2,1) $上$ f(x) $单调递增
B.在区间$ (1,3) $上$ f(x) $单调递减
C.在区间$ (4,5) $上$ f(x) $单调递增
D.在区间$ (3,5) $上$ f(x) $单调递减

答案： 2.C【解析】由导函数$f'(x)$的图象知在区间$(4,5)$上，$f'(x)＞0$，所以函数$f(x)$在$(4,5)$上单调递增.故选C.

3. (多选)下列函数中，既是奇函数又在区间$ (0,1) $上单调递增的有(ABD)

A.$ y = 2x^3 + 4x $
B.$ y = x + \sin(-x) $
C.$ y = \log_2|x| $
D.$ y = 2^x - 2^{-x} $

答案： 3.ABD【解析】由奇函数的定义可知，A，B，D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于选项A，$y'=6x^{2}+4＞0$，所以$y = 2x^{3}+4x$在$(0,1)$上单调递增；对于选项B，$y'=1-\cos x\geq0$，且$y'$不恒为$0$，所以$y = x+\sin(-x)$在$(0,1)$上单调递增；对于选项D，$y'=2^{x}\ln 2+2^{-x}\ln 2＞0$，所以$y = 2^{x}-2^{-x}$在$(0,1)$上单调递增.故选ABD.

4. [2024·泰州中学周练]证明：函数$ f(x) = 2x^2 - \ln x $在区间$ \left( \frac{1}{2}, +\infty \right) $上单调递增，在区间$ \left( 0, \frac{1}{2} \right) $上单调递减。

答案： 4.证明：函数的定义域为$(0,+\infty)$，$f'(x)=4x-\frac{1}{x}=\frac{4x^{2}-1}{x}=\frac{(2x + 1)(2x - 1)}{x}$.当$x\in(\frac{1}{2},+\infty)$时，$2x + 1＞0$，$2x - 1＞0$，$x＞0$，所以$f'(x)＞0$，所以$f(x)$在$(\frac{1}{2},+\infty)$上单调递增.当$x\in(0,\frac{1}{2})$时，$2x + 1＞0$，$2x - 1＜0$，$x＞0$，所以$f'(x)＜0$，所以$f(x)$在$(0,\frac{1}{2})$上单调递减.

5. [2024·太原三中期中]函数$ f(x) = x + \frac{3}{x} + 2\ln x $的单调递减区间是(B)

A.$ (-3,1) $
B.$ (0,1) $
C.$ (-1,3) $
D.$ (0,3) $

答案： 5.B【解析】函数$f(x)$的定义域是$(0,+\infty)$，$f'(x)=1-\frac{3}{x^{2}}+\frac{2}{x}=\frac{(x + 3)(x - 1)}{x^{2}}$，由$f'(x)＜0$及$x＞0$，得$0＜x＜1$，故函数$f(x)$的单调递减区间是$(0,1)$.故选B.

6. [2024·华中师大一附中月考]函数$ y = x\sin x + \cos x $在$ (\pi, 3\pi) $内的单调递增区间是(B)

A.$ \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right) $
B.$ \left( \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \right) $
C.$ \left( \frac{5\pi}{2}, 3\pi \right) $
D.$ (\pi, 2\pi) $

答案： 6.B【解析】因为$y = x\sin x+\cos x$，所以$y'=x\cos x$.当$x\in(\pi,3\pi)$时，令$y'=x\cos x＞0$，得$x\in(\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2})$，所以函数$y = x\sin x+\cos x$在$(\pi,3\pi)$内的单调递增区间是$(\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2})$.

7. [2024·江西临川一中周练]求下列函数的单调区间：
(1) $ f(x) = 3x^2 - 2\ln x $；
(2) $ f(x) = x^2 e^{-x} $；
(3) $ f(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x} $。

答案：
7.
(1)函数的定义域为$D=(0,+\infty)$.因为$f'(x)=6x-\frac{2}{x}$，令$f'(x)=0$，得$x_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍去）.用$x_{1}$分割定义域$D$，得下表.

所以函数$f(x)$的单调递减区间为$(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$，单调递增区间为$(\frac\sqrt{3}{3},+\infty)$.
(2)函数的定义域为$D=(-\infty,+\infty)$.因为$f'(x)=(x^{2})'e^{-x}+x^{2}(e^{-x})'=2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=e^{-x}·(2x - x^{2})$，令$f'(x)=0$，由于$e^{-x}＞0$，所以$x_{1}=0$，$x_{2}=2$.用$x_{1}$，$x_{2}$分割定义域$D$，得下表.
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所以$f(x)$的单调递减区间为$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，单调递增区间为$(0,2)$.
(3)$f'(x)=\frac{(2+\cos x)\cos x-\sin x(-\sin x)}{(2+\cos x)^{2}}=\frac{2\cos x + 1}{(2+\cos x)^{2}}$，令$f'(x)＞0$，得$\cos x＞-\frac{1}{2}$，即$2k\pi-\frac{2\pi}{3}＜x＜2k\pi+\frac{2\pi}{3}(k\in Z)$，令$f'(x)＜0$，得$\cos x＜-\frac{1}{2}$，即$2k\pi+\frac{2\pi}{3}＜x＜2k\pi+\frac{4\pi}{3}(k\in Z)$，故$f(x)$的单调递增区间为$(2k\pi-\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{2\pi}{3})(k\in Z)$，单调递减区间为$(2k\pi+\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{4\pi}{3})(k\in Z)$.

8. [2024·成都外国语学校期中]函数$ f(x) $在其定义域内可导，其图象如图，则导函数$ y = f'(x) $的图象可能为(C)

答案： 8.C【解析】在$y$轴右侧，函数$y = f(x)$的图象呈上升趋势，单调递增，则有$f'(x)＞0$；在$y$轴左侧，函数$y = f(x)$的图象先升后降再升，相应的导函数的值先为正，后为负，再为正.由以上分析可知C正确.