《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

16. [2024·长安一中月考]（15分）已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$(a_{n}-S_{n - 1})^{2}=S_{n}· S_{n - 1}(n\geqslant 2)$，且$a_{1}=1$，$a_{n}\gt 0$。
(1) 求$a_{2}$的值，并证明数列$\{ S_{n}\}$是等比数列；
(2) 设$b_{n}=(-1)^{n}\log _{2}S_{n}$，$T_{n}=b_{1}+b_{2}+·s +b_{n}$，求$T_{n}$。

答案： 16.
(1)令$n=2$，得$(a_2-a_1)^2=(a_1+a_2)· a_1$，化简得$a_2^2-3a_2=0$。因为$a_n＞0$，所以$a_2=3$。证明：当$n\geq2$时，由题意，得$(S_n-2S_{n-1})^2=S_n· S_{n-1}$，整理得$(S_n-S_{n-1})(S_n-4S_{n-1})=0$，所以$a_n(S_n-4S_{n-1})=0$，因为$a_n＞0$，所以$\frac{S_n}{S_{n-1}}=4$，所以数列$\{S_n\}$是等比数列.
(2)由
(1)，知$S_n=4^{n-1}$，所以$b_n=(-1)^n(2n-2)$，所以$T_n=2×[0+1-2+3-4+·s+(-1)^n·(n-1)]=\begin{cases}1-n,n为奇数,\\n,n为偶数.\end{cases}$

17. [2024·江苏启东中学期中]（15分）一位幼儿园老师给班上$k(k\geqslant 3)$个小朋友分糖果。她发现糖果盒中原有糖果数为$a_{0}$，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的$\dfrac {1}{2}$分给第1个小朋友；再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的$\dfrac {1}{3}$分给第2个小朋友；再从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的$\dfrac {1}{4}$分给第3个小朋友……如果设分给第$n$个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为$a_{n}$。
(1) 当$k = 3$，$a_{0}=12$时，分别求$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$。
(2) 当$n\geqslant 2$时，请用$a_{n - 1}$表示$a_{n}$，令$b_{n}=(n + 1)a_{n}$，求数列$\{ b_{n}\}$的通项公式。
(3) 是否存在正整数$k(k\geqslant 3)$和非负整数$a_{0}$，使得数列$\{ a_{n}\}(n\leqslant k)$为等差数列？如果存在，请求出所有的$k$和$a_{0}$；如果不存在，请说明理由。

答案： 17.
(1)当$k=3$，$a_0=12$，$a_1=(a_0+2)-\frac12(a_0+2)=7$，$a_2=(a_1+2)-\frac13(a_1+2)=6$，$a_3=(a_2+2)-\frac14(a_2+2)=6$。
(2)由题意知，当$n\geq2$时，$a_n=(a_{n-1}+2)-\frac1{n+1}(a_{n-1}+2)=\frac n{n+1}(a_{n-1}+2)=\frac n{n+1}a_{n-1}+\frac{2n}{n+1}$。因为$b_n=(n+1)a_n$，所以$b_n-b_{n-1}=2n$，$b_{n-1}-b_{n-2}=2n-2$，$·s$，$b_2-b_1=4$，累加得$b_n-b_1=\frac{4+2n}2·(n-1)=(n+2)(n-1)$。又因为$b_1=2a_1=a_0+2$，所以$b_n=(n+2)(n-1)+b_1=n^2+n+a_0$。
(3)存在.理由如下：
由
(2)知$b_n=n^2+n+a_0=(n+1)a_n$，得$a_n=n+\frac{a_0}{n+1}$。若存在正整数$k(k\geq3)$和非负整数$a_0$，使得数列$\{a_n\}(n\leq k)$为等差数列，则$a_1+a_3=2a_2$，即$\left(1+\frac12a_0\right)+\left(3+\frac14a_0\right)=2\left(2+\frac13a_0\right)$，解得$a_0=0$，当$a_0=0$时，$a_n=n$，对任意正整数$k(k\geq3)$，数列$\{a_n\}(n\leq k)$为等差数列.