《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

7. [2024·武汉二中月考]已知数列$\{a_n\}$满足$a_{n + 1} = \frac{1 + a_n}{3 - a_n}(n\in\mathbf{N}^*)$，且$a_1 = \frac{1}{3}$。求证：数列$\{\frac{1}{a_n - 1}\}$是等差数列，并求$a_n$。

答案： 7.证明：因为$a_{n + 1} = \frac{1 + a_n}{3 - a_n}，$所以$a_{n + 1} - 1 = \frac{1 + a_n}{3 - a_n} - 1 = \frac{2a_n - 2}{3 - a_n}，$故$\frac{1}{a_{n + 1} - 1} = \frac{3 - a_n}{2a_n - 2} = \frac{1 - a_n}{2a_n - 2} + \frac{2}{2a_n - 2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n - 1}，$所以$\frac{1}{a_{n + 1} - 1} - \frac{1}{a_n - 1} = \frac{1}{2}，$所以数列${\frac{1}{a_n - 1}}$是公差为$\frac{1}{2}$的等差数列.
又$a_1 = \frac{1}{3}，$所以$\frac{1}{a_1 - 1} = \frac{1}{\frac{1}{3} - 1} = -\frac{3}{2}，$所以$\frac{1}{a_n - 1} = -\frac{3}{2} + \frac{n - 1}{2} = \frac{n + 2}{2}，$所以$a_n - 1 = \frac{2}{n + 2}，$$a_n = 1 - \frac{n}{n + 2} = \frac{n}{n + 2}$

8. [2024·榆林模拟]在《九章算术》中有如下问题：“今有金棰，长五尺。斩本一尺，重四斤。斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次构成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是(B)

A.$\frac{7}{3}$斤
B.$\frac{7}{2}$斤
C.$\frac{5}{2}$斤
D.3斤

答案： 8.B 【解析】由题意可设金棰由粗到细各尺质量构成的等差数列为{a_n}，则$a_1 = 4，$$a_5 = 2，$所以公差$d = \frac{a_5 - a_1}{5 - 1} = \frac{2 - 4}{5 - 1} = -\frac{1}{2}，$所以$a_2 = a_1 + d = \frac{7}{2}.$故选B.

9. [2024·莆田模拟]《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”(又称“物不知数问题”)，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术”。“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”。现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为(C)

A.116
B.131
C.146
D.161

答案： 9.C 【解析】依题意，设a满足被3除余2且被5除余1，则a加上3和5的最小公倍数15的整数倍后也能满足被3除余2且被5除余1.设被3除余2且被5除余1的数由小到大排列而成的数列为{a_n}，由于被3除余2且被5除余1的最小正整数为11，则{a_n}是首项为11，公差为15的等差数列，所以$a_10 = 11 + (10 - 1) × 15 = 146.$

10. [2024·株洲二中期中]已知两个等差数列$\{a_n\}$：$5,8,11,·s$；$\{b_n\}$：$3,7,11,·s$都有100项，则它们的公共项的个数为(C)

A.20
B.23
C.25
D.27

答案： 10.C 【解析】在数列{a_n}中，$a_1 = 5，$公差d = 8 - 5 = 3，所以$a_n = a_1 + (n - 1)d = 3n + 2.$在数列{b_n}中，$b_1 = 3，$公差$d_2 = 7 - 3 = 4，$所以$b_n = b_1 + (n - 1)d_2 = 4n - 1.$令a_n = b_m，则3n + 2 = 4m - 1，所以$n = \frac{4m}{3} - 1.$因为m，n ∈ N^*，
所以m = 3k(k ∈ N^*).又$\begin{cases} 1 ≤ m ≤ 100 \\ 1 ≤ n ≤ 100 \end{cases}，$
所以2 ≤ 3k ≤ 75，所以1 ≤ k ≤ 25，所以k = 1，2，3，…，25，所以这两个数列共有25个公共项.故选C.

11. [2024·江西临川二中月考]已知$\{a_n\}$是首项为$a$，公差为1的等差数列，数列$\{b_n\}$满足$b_n = \frac{1 + a_n}{a_n}$，若对任意的$n\in\mathbf{N}^*$，都有$b_n \geq b_8$成立，则实数$a$的取值范围是(A)

A.$(-8,-7)$
B.$(-7,-6)$
C.$(-8,-6)$
D.$(-6,-5)$

答案： 11.A 【解析】因为对任意的n ∈ N^*，都有$b_n ≥ b_8$成立，且$b_n = \frac{1 + a_n}{a_n}，$所以$\frac{1}{a_n} ≥ \frac{1}{a_8}.$又数列{a_n}的公差为1，所以数列{a_n}为递增数列，所以$\begin{cases} a_8 $＜ 0 \\ a_9 ＞$ 0 \end{cases}$即$\begin{cases} a + 7 $＜ 0 \\ a + 8 ＞$ 0 \end{cases}，$
解得-8 ＜ a ＜ -7.故选A.

12. (多选)在等差数列$\{a_n\}$中，每相邻两项之间都插入$k(k\in\mathbf{N}^*)$个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列$\{b_n\}$。若$b_9$是数列$\{a_n\}$中的项，则$k$的值可能为(ABD)

A.1
B.3
C.5
D.7

答案： 12.ABD 【解析】由题意得插入k(k ∈ N^*)个数，则$a_1 = b_1，$
$a_2 = b_{k + 2}，$$a_3 = b_{2k + 3}，$$a_4 = b_{3k + 4}，$…，所以等差数列{a_n}中的项在新的等差数列{b_n}中间隔排列，且序号是以1为首项，k + 1为公差的等差数列，所以$a_n = b_{1 + (n - 1)(k + 1)}.$因为$b_9$是数列{a_n}中的项，所以1 + (n - 1)(k + 1) = 9，n ∈ N^*，k ∈ N^*.当n = 2时，解得k = 7；当n = 3时，解得k = 3；当n = 5时，解得k = 1，故k的值可能为1，3，7.故选ABD.

13. [2024·复旦大学附中期末](多选)在$\triangle ABC$中，内角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$\frac{1}{\tan A},\frac{1}{\tan B},\frac{1}{\tan C}$构成等差数列，则下列结论中不一定成立的有(ABD)

A.$a,b,c$构成等差数列
B.$\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}$构成等差数列
C.$a^2,b^2,c^2$构成等差数列
D.$a^3,b^3,c^3$构成等差数列

答案： 13.ABD 【解析】由题意，知$\frac{2}{tan B} = \frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan C}，$即$\frac{2cos B}{sin B} = \frac{cos A}{sin A} + \frac{cos C}{sin C}，$由正弦定理、余弦定理，得$2 · \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2abc} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2abc} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2abc}，$整理得$2b^2 = a^2 + c^2，$所以$a^2，$$b^2，$$c^2$构成等差数列.但且仅当a = b = c时，A，B，D中的数列为等差数列，但△ABC不一定为等边三角形，故结论A，B，D不一定成立.故选ABD.

14. [2024·天津一中期中]已知数列$\{a_n\}$满足$a_1 = 15$，且$3a_{n + 1} = 3a_n - 2(n\in\mathbf{N}^*)$，若$a_k a_{k + 1} \lt 0$，则正整数$k = $23$$。

答案： 14.23 【解析】因为$3a_{n + 1} = 3a_n - 2，$所以$a_{n + 1} - a_n = -\frac{2}{3}，$所以数列{a_n}是以15为首项，$-\frac{2}{3}$为公差的等差数列，则$a_n = 15 - \frac{2}{3}(n - 1) = -\frac{2}{3}n + \frac{47}{3}，$所以$a_k a_{k + 1} = (-\frac{2}{3}k + \frac{47}{3})[-\frac{2}{3}(k + 1) + \frac{47}{3}] = (-\frac{2}{3}k + \frac{47}{3}).$
$(-\frac{2}{3}k + 15).$因为$a_k a_{k + 1} ＜ 0，$所以(2k - 47)(2k - 45) ＜ 0，解得$\frac{45}{2} ＜ k ＜ \frac{47}{2}.$又因为k ∈ N^*，所以k = 23.

15. [2024·武汉调研]将给定的9个数排成如图所示的数表，若每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正中间一个数$a_{22} = 2$，则表中所有数之和为18。

答案： 15.18 【解析】因为每行3个数按从左至右的顺序构成等差数列，所以$a_11 + a_12 + a_13 = 3a_12，$$a_21 + a_22 + a_23 = 3a_22，$$a_31 + a_32 + a_33 = 3a_32.$因为每列的3个数按从上到下的顺序也构成等差数列，所以$a_12 + a_22 + a_32 = 3a_22，$所以表中所有数之和为$9a_22 = 9 × 2 = 18.$