《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024·包头一中期中]下列有关数列的说法中正确的是 (D)

A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列
C.数列1,3,5,7可表示为$\{1,3,5,7\}$
D.数列中的每一项都与它的序号有关

答案： 1.D 【解析】A错误，例如无穷个3构成的常数列3，3，3，$·s$的各项都是3；B错误，数列-1，0，1与数列1，0，-1中项的顺序不同，即表示不同的数列；C错误，$\{1,3,5,7\}$是一个集合；D正确.故选D.

2. [2024·三明一中月考](多选)下列说法正确的有 (AC)

A.数列4,7,3,4的首项是4
B.数列$\{a_n\}$中,若$a_1=3$,则从第2项起,各项均不等于3
C.数列1,2,3,$·s$是无穷数列
D.$a$,-3,-1,1,$b$,5,7,9,11一定能构成数列

答案： 2.AC 【解析】根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；由无穷数列的概念可知C正确；当$a$，$b$都代表数时，能构成数列，当$a$，$b$中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误.故选AC.

3. [2024·深圳中学月考]给出下列四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数；
②数列的项数一定是无限的；
③数列的通项公式的形式是唯一的；
④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,$·s$不存在通项公式.
其中正确的是 (A)

A.①
B.①②
C.③④
D.②④

答案： 3.A 【解析】结合数列的定义与函数的概念，可知①正确；有穷数列的项数是有限的，②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，$·s$存在通项公式$a_{n}=\begin{cases} \frac{n+1}{2},n为奇数, \\ \frac{3n}{2},n为偶数, \end{cases}$④错误.故选A.

4. [2024·河南省实验中学月考](多选)已知$n\in\mathbf{N}^*$,下列选项中能作为数列:2,0,2,0,$·s$的通项公式的有 (ABC)

A.$a_n=\begin{cases}2,n 为奇数,\\0,n 为偶数\end{cases}$
B.$a_n=1+(-1)^{n+1}$
C.$a_n=2\left|\sin\dfrac{n\pi}{2}\right|$
D.$a_n=2^{\frac{1-(-1)^n}{2}}$

答案： 4.ABC 【解析】对于A，因为$a_{n}=\begin{cases} 2,n为奇数, \\ 0,n为偶数, \end{cases}$所以$a_{1}=2$，$a_{2}=0$，$a_{3}=2$，$a_{4}=0$，故A正确；对于B，因为$a_{n}=1+(-1)^{n+1}$，所以$a_{1}=1+(-1)^{2}=2$，$a_{2}=1+(-1)^{3}=0$，$a_{3}=1+(-1)^{4}=2$，$a_{4}=1+(-1)^{5}=0$，故B正确；对于C，因为$a_{n}=2\sin\frac{n\pi}{2}$，所以$a_{1}=2\sin\frac{\pi}{2}=2$，$a_{2}=2\sin\frac{2\pi}{2}=0$，$a_{3}=2\sin\frac{3\pi}{2}=2$，$a_{4}=2\sin\frac{4\pi}{2}=0$，故C正确；对于D，因为$a_{n}=\frac{1-(-1)^{n}}{2}$，所以$a_{1}=\frac{1-(-1)^{2}}{2}=2$，$a_{2}=\frac{1-(-1)^{2}}{2}=1$，$a_{3}=\frac{1-(-1)^{3}}{2}=2$，$a_{4}=\frac{1-(-1)^{4}}{2}=1$，故D错误.故选ABC.

5. [2024·昆明三中周练]写出下列数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33,$·s$；
(2)1,$\dfrac{4}{3}$,2,$\dfrac{16}{5}$,$·s$；
(3)$\dfrac{1}{3}$,$-\dfrac{4}{5}$,$\dfrac{9}{7}$,$-\dfrac{16}{9}$,$\dfrac{25}{11}$,$-\dfrac{36}{13}$,$·s$；
(4)2,22,222,$·s$；
(5)1,2,2,4,4,6,8,8,16,$·s$.

答案： 5.
(1)原数列可变为$2+1$，$4+1$，$8+1$，$16+1$，$32+1$，$·s$，故通项公式为$a_{n}=2^{n}+1$.
(2)将原数列各项统一为分数：$\frac{2}{2}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{4}$，$\frac{16}{5}$，$·s$，故通项公式为$a_{n}=\frac{2^{n}}{n+1}$.
(3)原数列各项先正后负，符号为$(-1)^{n-1}$，分子为$n^{2}$，各项分母为3，5，7，9，11，13，$·s$，即分母为$2n+1$，
故通项公式为$a_{n}=(-1)^{n-1}·\frac{n^{2}}{2n+1}$.
(4)由于9，99，999，$·s$的通项公式为$10^{n}-1$，故2，22，222，$·s$的通项公式为$a_{n}=\frac{2}{9}(10^{n}-1)$.
(5)奇数项为1，2，4，8，16，$·s$，即$a_{1}=1$，$a_{3}=2$，$a_{5}=4=2^{2}$，$a_{7}=8=2^{3}$，$a_{9}=16=2^{4}$，所以$a_{2k-1}=2^{k-1}$，即$a_{n}=2^{\frac{n-1}{2}}(n为奇数)$；因为偶数项为2，4，6，8，$·s$，即$a_{2}=2$，$a_{4}=4$，$a_{6}=6$，$a_{8}=8$，所以$a_{2k}=2k$，即$a_{n}=n(n为偶数)$.
综上所述，$a_{n}=\begin{cases} 2^{\frac{n-1}{2}},n为奇数, \\ n,n为偶数. \end{cases}$

6. [2024·南京金陵中学月考]设数列$\{a_n\}$满足$a_1=a$,$a_{n+1}=\dfrac{a_n^2-2}{a_n+1}(n\in\mathbf{N}^*)$,若数列$\{a_n\}$是常数列,则$a=$ (A)

A.-2
B.-1
C.0
D.$(-1)^n$

答案： 6.A 【解析】因为数列$\{a_{n}\}$满足$a_{1}=a$，$a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}-2}{a_{n}+1}(n\in\mathbf{N}^{*})$，所以$a_{2}=\frac{a^{2}-2}{a+1}$.因为数列$\{a_{n}\}$是常数列，所以$a=\frac{a^{2}-2}{a+1}$，解得$a=-2$.故选A.

7. [2024·重庆一中月考]数列1,3,6,10,15,$·s$的递推公式是 (B)

A.$a_{n+1}=a_n+n(n\in\mathbf{N}^*)$
B.$a_n=a_{n-1}+n(n\in\mathbf{N}^*,n\geq2)$
C.$a_{n+1}=a_n+(n+1)(n\in\mathbf{N}^*,n\geq2)$
D.$a_n=a_{n-1}+(n-1)(n\in\mathbf{N}^*,n\geq2)$

答案： 7.B 【解析】把数列的前5项代入验证，知$a_{n}=a_{n-1}+n(n\in\mathbf{N}^{*},n\geq2)$.