《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 如图所示,可导函数$ y = f(x) $在点$ P(x_0, f(x_0)) $处的切线为$ l:y = g(x) $,设$ h(x) = f(x) - g(x) $,则下列说法正确的是(B)


A.$ h'(x_0) = 0 $,$ x = x_0 $是$ h(x) $的极大值点
B.$ h'(x_0) = 0 $,$ x = x_0 $是$ h(x) $的极小值点
C.$ h'(x_0) \neq 0 $,$ x = x_0 $不是$ h(x) $的极值点
D.$ h'(x_0) \neq 0 $,$ x = x_0 $是$ h(x) $的极值点

答案： 1.B[解析]因为可导函数y=f(x)在点P(x₀,f(x₀))处的切线为l:y=g(x)，所以h(x)=f(x)−g(x)在x₀处先减后增，所以h'(x₀)=0，x=x₀是h(x)的极小值点。

2. [2024·福建仙游一中期末](多选)已知定义在$ \mathbf{R} $上的函数$ f(x) $,其导函数$ f'(x) $的大致图象如图所示,则下列叙述不正确的有(ABD)


A.$ f(a) ＞ f(e) ＞ f(d) $
B.函数$ f(x) $在$ [a, b] $上单调递增,在$ [b, d] $上单调递减
C.$ f(x) $的极值点为$ c, e $
D.$ f(x) $的极大值为$ f(b) $

答案： 2.ABD[解析]由导数与函数单调性的关系知，当f'(x)＞0 时，f(x)单调递增，当f'(x)＜0时，f(x)单调递减。由题图可知，当x∈(a,c)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(a,c)上单调递增；当x∈(c,e)时，f'(x)＜0，所以f(x)在(c,e)上单调递减；当x∈(e,+∞)时，f'(x)＞0，所以f(x)在(e,+∞)上单调递增。所以函数f(x)在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值，所以f(x)的极值点为c,e。故C正确，A,B,D均不正确。

3. [2024·成都一中月考]设函数$ f(x) $在$ \mathbf{R} $上可导,其导函数为$ f'(x) $,且函数$ f(x) $在$ x = -4 $处取得极小值,则函数$ y = x f'(x) $的图象可能是(C)


A.图A
B.图B
C.图C
D.图D

答案： 3.C[解析]由函数f(x)在x=−4处取得极小值，可得f'(−4)=0，且导函数f'(x)从左侧趋近−4时，f'(x)＜0；从右侧趋近−4时，f'(x)＞0。故函数y=xf'(x)从左侧趋近−4时，xf'(x)＞0；从右侧趋近−4时，xf'(x)＜0。结合所给的选项，可知C正确。

4. [2024·长治二中周练]已知函数$ y = x - \ln(1 + x^2) $,则函数(D)

A.有极小值
B.有极大值
C.既有极大值也有极小值
D.无极值

答案： 4.D[解析]y'=1−$\frac{2x}{1+x²}$=$\frac{(x−1)²}{1+x²}$，令y'=0，得x=1。当x＞1时，y'＞0，当x＜1时，y'＞0，所以函数无极值。故选D。

5. [2024·青岛二中月考]函数$ f(x) = x + 2\cos x $在$ \left[0, \frac{\pi}{2}\right] $上的极大值点为(B)

A.$ 0 $
B.$ \frac{\pi}{6} $
C.$ \frac{\pi}{3} $
D.$ \frac{\pi}{2} $

答案： 5.B[解析]由题意得，f'(x)=1−2sinx，令f'(x)=0，得x=$\frac{\pi}{6}$。当0＜x＜$\frac{\pi}{6}$时，f'(x)＞0；当$\frac{\pi}{6}$＜x＜$\frac{\pi}{2}$时，f'(x)＜0。所以当x=$\frac{\pi}{6}$时，f(x)取得极大值。

6. [2024·佛山一中期中]若函数$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \left(1 + \frac{b}{2}\right)x^2 + 2bx $在区间$ [-3, 1] $上不是单调函数,则函数$ f(x) $在$ \mathbf{R} $上的极小值为(A)

A.$ 2b - \frac{4}{3} $
B.$ \frac{3}{2}b - \frac{2}{3} $
C.$ 0 $
D.$ b^2 - \frac{1}{6}b^3 $

答案： 6.A[解析]f'(x)=x²−(2+b)x+2b=(x−b)(x−2)，因为函数f(x)在区间[−3,1]上不是单调函数，所以−3＜b＜1。由f'(x)＞0，得x＞2或x＜b，由f'(x)＜0，得b＜x＜2，所以f(x)的极小值为f
(2)=$\frac{8}{3}$−(4+2b)+4b=2b−$\frac{4}{3}$。

7. 已知函数$ f(x) = \sqrt{x} - a\ln x $.
(1) 若曲线$ f(x) $在$ x = 1 $处的切线方程为$ x - 2y + 1 = 0 $,求实数$ a $的值;
(2) 求函数$ f(x) $在区间$ [1, 4] $上的极值.

答案： 7.
(1)因为f(x)=$\sqrt{x}$−alnx，所以f'(x)=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$−$\frac{a}{x}$，所以f'
(1)=$\frac{1}{2}$−a。因为曲线f(x)在x=1处的切线方程为x−2y+1=0，所以$\frac{1}{2}$−a=$\frac{1}{2}$，解得a=0。
(2)由
(1)，知f'(x)=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$−$\frac{a}{x}$=$\frac{\sqrt{x}−2a}{2x}$。
当2a≤1，即a≤$\frac{1}{2}$时，f'(x)≥0在[1,4]上恒成立，所以函数f(x)在[1,4]上单调递增，所以函数f(x)在[1,4]上无极值。
当2a≥2，即a≥1时，f'(x)≤0在[1,4]上恒成立，所以函数f(x)在[1,4]上单调递减，所以函数f(x)在[1,4]上无极值。
当1＜2a＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：
x　　[1,4a²)　　　　4a²　　　　(4a²,4]
f'(x)　　−　　　　　0　　　　　+
f(x)　单调递减　　2a−2aln(2a)　　单调递增
所以当x=4a²时，f(x)取得极小值，为2a−2aln(2a)，无极大值。
综上所述，当a≤$\frac{1}{2}$或a≥1时，函数f(x)在[1,4]上无极值，当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，函数f(x)在x=4a²时取得极小值，为2a−2aln(2a)，无极大值。