《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

12. [2024·西安铁一中学周练]在等比数列$ \{a_n\} $中，已知$ a_1 ＞ 0 $，$ 8a_2 - a_5 = 0 $，则数列$ \{a_n\} $为(A)

A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列

答案： A[解析]由$8a_2 - a_5 = 0$，可知$\frac{a_5}{a_2} = q^3 = 8$，解得$q=2$.因为$a_1 ＞ 0$，所以数列$\{ a_n \}$为递增数列.

13. [2024·成都外国语学校期中](多选)下列关于公比为$ q $的等比数列$ \{a_n\} $的叙述不正确的有 (ABC)

A.$ q ＞ 1\Rightarrow \{a_n\} $为递增数列
B.$ \{a_n\} $为递增数列$ \Rightarrow q ＞ 1 $
C.$ 0 ＜ q ＜ 1\Leftrightarrow \{a_n\} $为递减数列
D.$ q ＞ 1\nRightarrow \{a_n\} $为递增数列且$ \{a_n\} $为递增数列$ \nRightarrow q ＞ 1 $

答案： ABC[解析]若$a_1 = -2$，$q = 2 ＞ 1$，则$\{ a_n \}$的各项为$-2$，$-4$，$-8$，$·s$，是递减数列，A不正确；若等比数列$\{ a_n \}$的各项为$-16$，$-8$，$-4$，$-2$，$·s$，是递增数列，则$q = \frac{1}{2} ＜ 1$，B不正确，D正确；若$a_1 = -16$，$q = \frac{1}{2} \in (0,1)$，则$\{ a_n \}$的各项为$-16$，$-8$，$-4$，$·s$，显然是递增数列，C不正确.故选ABC.

14. [2024·济南外国语学校周练]在由正数组成的等比数列$ \{a_n\} $中，若$ a_4a_5a_6 = 3 $，则$ \log_3a_1 + \log_3a_2 + \log_3a_8 + \log_3a_9 $的值为 (A)

A.$ \frac{4}{3} $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ 2 $
D.$ 3^{\frac{4}{3}} $

答案： A[解析]在等比数列$\{ a_n \}$中，由$a_4 a_5 a_6 = 3$得$a_5^3 = 3$，所以$a_5 = \sqrt[3]{3}$，所以$\log_3 a_1 + \log_3 a_2 + \log_3 a_8 + \log_3 a_9 = \log_3 (a_1 a_2 a_8 a_9) = \log_3 a_5^4 = \log_3 3^{\frac{4}{3}} = \frac{4}{3}$.故选A.

15. [2024·济南一中月考]在等比数列$ \{a_n\} $中，$ a_7· a_{11} = 6 $，$ a_4 + a_{14} = 5 $，则$ \frac{a_{20}}{a_{10}} = $ $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{2}{3}$或$\frac{3}{2}$[解析]因为$\{ a_n \}$是等比数列，所以$a_7 · a_{11} = a_4 · a_{14} = 6$.又因为$a_4 + a_{14} = 5$，所以$\begin{cases} a_4 = 2, \\ a_{14} = 3 \end{cases}$或$\begin{cases} a_4 = 3, \\ a_{14} = 2. \end{cases}$设公比为$q$.因为$\frac{a_{14}}{a_4} = q^{10}$，所以$q^{10} = \frac{2}{3}$或$q^{10} = \frac{3}{2}$.因为$\frac{a_{20}}{a_{10}} = q^{10}$，所以$\frac{a_{20}}{a_{10}} = \frac{2}{3}$或$\frac{a_{20}}{a_{10}} = \frac{3}{2}$.

16. [2024·南宁外国语学校期中]在等比数列$ \{a_n\} $中，若$ a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = \frac{15}{8} $，$ a_8a_9 = -\frac{9}{8} $，则$ \frac{1}{a_7} + \frac{1}{a_8} + \frac{1}{a_9} + \frac{1}{a_{10}} = $ $-\frac{5}{3}$.

答案： $-\frac{5}{3}$[解析]因为$\frac{1}{a_7} + \frac{1}{a_{10}} = \frac{a_7 + a_{10}}{a_7 a_{10}}$，$\frac{1}{a_8} + \frac{1}{a_9} = \frac{a_8 + a_9}{a_8 a_9}$且$a_8 a_9 = a_7 a_{10}$，所以$\frac{1}{a_7} + \frac{1}{a_8} + \frac{1}{a_9} + \frac{1}{a_{10}} = \frac{a_7 + a_8 + a_9 + a_{10}}{a_8 a_9} = \frac{15}{8} - \frac{5}{3} = -\frac{5}{3}$.

1. [2024·荆门一中月考]一个等比数列前三项的积为$ 2 $，后三项的积为$ 4 $，且所有项的积为$ 64 $，则该数列有 (B)

A.$ 13 $项
B.$ 12 $项
C.$ 11 $项
D.$ 10 $项

答案： B[解析]设数列的通项公式为$a_n = a_1 q^{n-1}$，则前三项分别为$a_1$，$a_1 q$，$a_1 q^2$，后三项分别为$a_1 q^{n-3}$，$a_1 q^{n-2}$，$a_1 q^{n-1}$.由题意得$a_1^3 q^3 = 2$，$a_1^3 q^{3n-6} = 4$，两式相乘得$a_1^6 q^{3(n-1)} = 8$，即$(a_1^2 q^{n-1})^3 = 8 = 2^{12}$，所以$a_1^2 q^{n-1} = 2^2$，解得$n=12$.

2. [2024·南宁一中期中]在等比数列$ \{a_n\} $中，$ a_1 + a_2 = 1 $，$ a_3 + a_4 = 9 $，则$ a_4 + a_5 = $(B)

A.$ 27 $
B.$ 27 $或$ -27 $
C.$ 81 $
D.$ 81 $或$ -81 $

答案： B[解析]设公比为$q$.因为$q^2 = \frac{a_3 + a_4}{a_1 + a_2} = 9$，所以$q = \pm 3$，所以$a_4 + a_5 = (a_3 + a_4) q = 27$或$-27$.故选B.

3. [2024·吉安一中期中]已知$ a,b,c $均为正数，若$ a + b + c $，$ b + c - a $，$ c + a - b $，$ a + b - c $构成等比数列，且公比为$ q $，则$ q^3 + q^2 + q $的值为 (B)

A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ 3 $
D.不确定

答案： B[解析]依题意，有$q^3 + q^2 + q = \frac{a+b-c}{a+b+c} + \frac{c+a-b}{a+b+c} + \frac{b+c-a}{a+b+c} = 1$.

4. [2024·银川一中期中]已知数列$ \{a_n\} $满足$ a_1 = 2 $，$ a_{n + 1} = 3a_n + 2 $，则$ a_{2024} = $(B)

A.$ 3^{2024} + 1 $
B.$ 3^{2024} - 1 $
C.$ 3^{2024} - 2 $
D.$ 3^{2024} + 2 $

答案： B[解析]由$a_{n+1} = 3a_n + 2$，得$a_{n+1} + 1 = 3(a_n + 1)$，所以$\{ a_n + 1 \}$是首项为$a_1 + 1 = 3$，公比为3的等比数列，所以$a_n + 1 = 3 × 3^{n-1} = 3^n$，即$a_n = 3^n - 1$，所以$a_{2024} = 3^{2024} - 1$.故选B.

5. [2024·淮安淮阴中学月考]在$ 1,3 $中间插入二者的乘积，得到$ 1,3,3 $，称数列$ 1,3,3 $为数列$ 1,3 $的第一次扩展数列，数列$ 1,3,9,3 $为数列$ 1,3 $的第二次扩展数列，重复上述规则，可得$ 1,x_1,x_2,·s,x_{2^n - 1},3 $为数列$ 1,3 $的第$ n $次扩展数列，令$ a_n = \log_3(1× x_1× x_2×·s× x_{2^n - 1}×3) $，则数列$ \{a_n\} $的通项公式为 $a_n = \frac{3^n + 1}{2}$.

答案： $a_n = \frac{3^n + 1}{2}$[解析]由题意得，$a_n = \log_3 (1 × x_1 × x_2 × ·s × x_{2^{n-1}} × 3)$，所以$a_{n+1} = \log_3 [1 × (1 × x_1) × x_1 × (x_1 × x_2) × x_2 × ·s × x_{2^{n-1}} × 3^3] = \log_3 (1^3 × x_1^3 × x_2^3 × ·s × x_{2^{n-1}}^3 × 3^3) = \log_3 (1^3 × x_1^3 × x_2^3 × ·s × x_{2^{n-1}}^3 × 3^3) - \log_3 3 = 3a_n - 1$，所以$a_{n+1} - \frac{1}{2} = 3(a_n - \frac{1}{2})$.又$a_1 = \log_3 (1 × 3 × 3) = 2$，所以$a_1 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，因此$\{ a_n - \frac{1}{2} \}$是以$\frac{3}{2}$为首项，3为公比的等比数列，则$a_n - \frac{3}{2} × 3^{n-1} = \frac{3^n}{2}$，故$a_n = \frac{3^n + 1}{2}$.

6. [2024·九江一中期中]已知数列$ \{a_n\} $的前$ n $项和为$ S_n $，$ a_1 = 1 $，$ S_{n + 1} = 4a_n + 1 $，设$ b_n = a_{n + 1} - 2a_n $.
(1) 证明：数列$ \{b_n\} $是等比数列；
(2) 数列$ \{c_n\} $满足$ c_n = \frac{1}{\log_2b_n + 3}(n\in\mathbf{N}^*) $，设$ T_n = c_1c_2 + c_2c_3 + c_3c_4 + ·s + c_nc_{n + 1} $，求$ T_{20} $.

答案：
(1)证明：由$S_{n+1} = 4a_n + 1$，得当$n \geq 2$时，$S_n = 4a_{n-1} + 1$，① - ②，得$a_{n+1} = 4a_n - 4a_{n-1}$，所以$a_{n+1} - 2a_n = 2(a_n - 2a_{n-1})$.因为$b_n = a_{n+1} - 2a_n$，所以$b_n = 2b_{n-1} (n \geq 2)$.当$n=1$时，由$S_{n+1} = 4a_n + 1$得，$a_1 + a_2 = 4a_1 + 1$.因为$a_1 = 1$，所以$c_2 = 3a_1 + 1 = 4$.所以$b_1 = a_2 - 2a_1 = 2$.所以数列$\{ b_n \}$是首项为2，公比为2的等比数列.
(2)由
(1)可知$b_n = 2^n$，则$c_n = \frac{1}{\log_2 b_n + 3} - \frac{1}{n+3} (n \in N^*)$.所以$T_n = c_1 c_2 + c_2 c_3 + c_3 c_4 + ·s + c_n c_{n+1} = \frac{1}{4 × 5} + \frac{1}{5 × 6} + \frac{1}{6 × 7} + ·s + \frac{1}{(n+3)(n+4)} = (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + ·s + (\frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{n+4} = \frac{n}{4(n+4)}$.所以$T_{20} = \frac{20}{4 × (20+4)} = \frac{5}{24}$.