《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. 函数$ f(x)=\frac{x^2}{x+3} $的导数$ f'(x)= $(C)

A.$ \frac{x^2+6x}{x+3} $
B.$ \frac{-2x}{(x+3)^2} $
C.$ \frac{x^2+6x}{(x+3)^2} $
D.$ \frac{3x^2+6x}{(x+3)^2} $

答案： 1.C【解析】$f^{\prime}(x)=\frac{\left(x^{2}\right)^{\prime}(x+3)-x^{2}(x+3)^{\prime}}{(x+3)^{2}}=\frac{2x(x+3)-x^{2}}{(x+3)^{2}}=$
$\frac{2x^{2}+6x-x^{2}}{(x+3)^{2}}=\frac{x^{2}+6x}{(x+3)^{2}}$.故选C.

2. [2024·衡水二中月考]对于函数$ f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x^2}+ \ln x-\frac{2k}{x} $，若$ f'(1)=1 $，则实数$ k= $(A)

A.$ \frac{\mathrm{e}}{2} $
B.$ \frac{\mathrm{e}}{3} $
C.$ -\frac{\mathrm{e}}{2} $
D.$ -\frac{\mathrm{e}}{3} $

答案： 2.A【解析】因为$f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x-2)}{x^{3}}+\frac{1}{x}+\frac{2k}{x^{2}}$,所以$f^{\prime}(1)=$
$-e+1+2k=1$,解得$k=\frac{e}{2}$.故选A.

3. [2024·大庆十中月考]若函数$ f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) $，且$ f'(x) $是$ f(x) $的导函数，则$ f'(1)= $(A)

A.24
B.-24
C.10
D.-10

答案： 3.A【解析】设$g(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$,则
$f(x)=(x-1)g(x)$,所以$f^{\prime}(x)=(x-1)^{\prime}· g(x)+(x-1)g^{\prime}(x)=g(x)+(x-1)g^{\prime}(x)$,所以$f^{\prime}(1)=$
$g(1)+(1-1)g^{\prime}(1)=g(1)=(1-2)×(1-3)×(1-4)×$
$(1-5)=24$.故选A.

4. 已知函数$ f(x)=\begin{cases}\frac{1}{3}x^3-4x, & x＜0, \\ -\frac{1}{x}-\ln x, & 0＜x＜1,\end{cases}$ 若$ f'(a)=12 $，则实数$ a $的值为 ______ 。

答案： 4.$\frac{1}{4}$或$-4$【解析】$f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x,x＜0,\frac{1}{x^{2}}-4,0＜x＜1,\end{cases}$若$f^{\prime}(a)=$
$\begin{cases}0＜a＜1,\frac{1}{a^{2}}-4=12,\end{cases}$
解得$a=\frac{1}{4}$或$-4$.

5. [2024·宝鸡一中期末]求导：
(1)$ \left( \frac{\ln x}{x^2} \right)'=$$\frac{1-2\ln x}{x^{3}}$$ $；
(2)$ (x^3\mathrm{e}^x)'=$$(3x^{2}+x^{3})e^{x}$$ $；
(3)$ \left( \frac{\cos 2x}{\sin x+\cos x} \right)'=$$-\sin x-\cos x$$ $；
(4)$ \left( 2^x · \log_2 x-\frac{x+1}{x-1} \right)'=$$2^{x}\ln x+\frac{2^{x}}{x\ln2}+\frac{2}{(x-1)^{2}}$$ $。

答案： 5.
(1)$\frac{1-2\ln x}{x^{3}}$
(2)$(3x^{2}+x^{3})e^{x}$
(3)$-\sin x-\cos x$
(4)$2^{x}\ln x+\frac{2^{x}}{x\ln2}+\frac{2}{(x-1)^{2}}$
【解析】
(1)$\left(\frac{\ln x}{x^{2}}\right)^{\prime}=\frac{(\ln x)^{\prime}· x^{2}-\ln x·(x^{2})^{\prime}}{x^{4}}=$
$\frac{\frac{1}{x}· x^{2}-2x·\ln x}{x^{4}}=\frac{1-2\ln x}{x^{3}}$
(2)$(x^{3}e^{x})^{\prime}=(x^{3})^{\prime}e^{x}+x^{3}(e^{x})^{\prime}=(3x^{2}+x^{3})e^{x}$.
(3)$\left(\frac{\cos2x}{\sin x+\cos x}\right)^{\prime}=\frac{(\cos^{2}x-\sin^{2}x)^{\prime}}{\sin x+\cos x}=(\cos x-\sin x)^{\prime}=$
$-\sin x-\cos x$.
(4)$\left(2^{x}·\log_{2}x-\frac{x-1+2}{x-1}\right)^{\prime}=\left(2^{x}·\log_{2}x-1-\frac{2}{x-1}\right)^{\prime}=2^{x}\ln2·\log_{2}x+$
$2^{x}·\frac{1}{x\ln2}+\frac{2}{(x-1)^{2}}=2^{x}\ln x+\frac{2^{x}}{x\ln2}+\frac{2}{(x-1)^{2}}$.

6. 已知函数$ f(x) $的导函数为$ f'(x) $，且满足$ f(x)=2xf'(\mathrm{e})+\ln x $，则$ f(\mathrm{e})= $(C)

A.$ \mathrm{e} $
B.$ -\frac{1}{\mathrm{e}} $
C.$ -1 $
D.$ -\mathrm{e} $

答案： 6.C【解析】对函数$f(x)=2xf^{\prime}(e)+\ln x$求导,得$f^{\prime}(x)=$
$2f^{\prime}(e)+\frac{1}{x}$,令$x=e$,则$f^{\prime}(e)=2f^{\prime}(e)+\frac{1}{e}$,解得
$f^{\prime}(e)=-\frac{1}{e}$,即$f(x)=-\frac{2}{e}x+\ln x$,令$x=e$,则$f(e)=$
$-\frac{2}{e}× e+\ln e=-1$.

7. [2024·衡水中学月考]已知$ f'(x) $是函数$ f(x) $的导函数，且对任意的实数$ x $都有$ f'(x)=\mathrm{e}^x(2x-2)+f(x) $($ \mathrm{e} $是自然对数的底数)，$ f(0)=1 $，则(D)

A.$ f(x)=\mathrm{e}^x(x+1) $
B.$ f(x)=\mathrm{e}^x(x-1) $
C.$ f(x)=\mathrm{e}^x(x+1)^2 $
D.$ f(x)=\mathrm{e}^x(x-1)^2 $

答案： 7.D【解析】由$f^{\prime}(x)=e^{x}(2x-2)+f(x)$,得$\frac{f^{\prime}(x)-f(x)}{e^{x}}=$
$2x-2$,即$\left[\frac{f(x)}{e^{x}}\right]^{\prime}=2x-2$,所以$\frac{f(x)}{e^{x}}=x^{2}-2x+c$($c$为
常数).所以$f(x)=(x^{2}-2x+c)e^{x}$.因为$f(0)=1$,所以
$c=1$,所以函数$f(x)$的解析式是$f(x)=e^{x}(x-1)^{2}$.故
选D.

8. [2024·许昌高中月考]已知点$ P $在曲线$ y=\frac{4}{\mathrm{e}^x+1} $上，$ \alpha $为曲线在点$ P $处的切线的倾斜角，则$ \alpha $的取值范围是$\left[-\frac{3\pi}{4},\pi\right)$。

答案： 8.$\left[-\frac{3\pi}{4},\pi\right)$【解析】设曲线在点$P$处的切线的斜率为$k$,则
$k=y^{\prime}=\frac{-4e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}=\frac{-4}{e^{x}+\frac{1}{e^{x}}+2}＜0$.因为$e^{x}＞0$,所以由基
本不等式,得$k\geqslant\frac{-4}{2\sqrt{e^{x}·\frac{1}{e^{x}}}+2}=-1$,当且仅当$e^{x}=$
$\frac{1}{e^{x}}$,即$x=0$时,等号成立.又$k＜0$,所以$-1\leqslant k＜0$,即
$-1\leqslant\tan\alpha＜0$,所以$-\frac{3\pi}{4}\leqslant\alpha＜\pi$.

9. [2024·北大附中月考]对于三次函数$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $($ a \neq 0 $)，现给出定义：设$ f'(x) $是函数$ f(x) $的导数，$ f''(x) $是$ f'(x) $的导数，若方程$ f''(x)=0 $有实数解$ x_0 $，则称点$ (x_0,f(x_0)) $为函数$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $($ a \neq 0 $)的“拐点”。经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数$ g(x)=2x^3-3x^2+1 $，则$ g\left( \frac{1}{100} \right)+g\left( \frac{2}{100} \right)+·s +g\left( \frac{99}{100} \right)=$$\frac{99}{2}$$ $。

答案： 9.$\frac{99}{2}$【解析】依题意得,$g^{\prime}(x)=6x^{2}-6x$,$g^{\prime\prime}(x)=12x-6$,
令$g^{\prime\prime}(x)=0$,解得$x=\frac{1}{2}$.因为$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$,所以函数
$g(x)$的对称中心为$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$,则$g(1-x)+g(x)=1$.因
为$\frac{1}{100}+\frac{99}{100}=\frac{2}{100}+\frac{98}{100}=·s=\frac{49}{100}+\frac{51}{100}=1$,所以
$g\left(\frac{1}{100}\right)+g\left(\frac{99}{100}\right)=g\left(\frac{2}{100}\right)+g\left(\frac{98}{100}\right)=·s=g\left(\frac{49}{100}\right)+$
$g\left(\frac{51}{100}\right)=1$,所以$g\left(\frac{1}{100}\right)+g\left(\frac{2}{100}\right)+·s+g\left(\frac{99}{100}\right)=$
$\left[g\left(\frac{1}{100}\right)+g\left(\frac{99}{100}\right)\right]+\left[g\left(\frac{2}{100}\right)+g\left(\frac{98}{100}\right)\right]+·s+$
$\left[g\left(\frac{49}{100}\right)+g\left(\frac{51}{100}\right)\right]+g\left(\frac{50}{100}\right)=49+\frac{1}{2}=\frac{99}{2}$.

10. 设函数$ f(x)=ax-\frac{b}{x} $，曲线$ y=f(x) $在点$ (2,f(2)) $处的切线方程为$ 7x-4y-12=0 $。
(1) 求$ f(x) $的解析式；
(2) 证明：曲线$ y=f(x) $上任意一点处的切线与直线$ x=0 $和直线$ y=x $所围成的三角形的面积为定值，并求此定值。

答案： 10.
(1)$f(x)=x-\frac{3}{x}$.因为曲线$y=f(x)$在点$(2,f(2))$处
的切线方程为$7x-4y-12=0$,所以$\begin{cases}f^{\prime}(2)=\frac{7}{4},\\f(2)=\frac{1}{2},\end{cases}$
即$\begin{cases}a+\frac{b}{4}=\frac{7}{4},\\2a-\frac{b}{2}=\frac{1}{2}.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1,\\b=3.\end{cases}$所以$f(x)$的解析式为$f(x)=x-\frac{3}{x}$
(2)证明:设点$\left(x_{0},x_{0}-\frac{3}{x_{0}}\right)$为曲线$y=f(x)$上任意一
点,则切线的斜率$k=1+\frac{3}{x_{0}^{2}}$,切线方程为$y-\left(x_{0}-\frac{3}{x_{0}}\right)=$
$\left(1+\frac{3}{x_{0}^{2}}\right)(x-x_{0})$,令$x=0$,得$y=-\frac{6}{x_{0}}$.
由$\begin{cases}y-\left(x_{0}-\frac{3}{x_{0}}\right)=\left(1+\frac{3}{x_{0}^{2}}\right)(x-x_{0}),\\y=x.\end{cases}$
由$x=2x_{0}$,
$\begin{cases}y=x,\\y=2x_{0}.\end{cases}$
所以曲线$y=f(x)$上任意一点处的切线与直线$x=0$和
直线$y=x$所围成的三角形的面积$S=\frac{1}{2}\left|2x_{0}\right|·$
$\left|-\frac{6}{x_{0}}\right|=6$,为定值.