《2025年热搜题高中数学选择性必修第二册人教版》

1. [2024·吉林一中周练](多选)下列数列为等比数列的有 (ACD)

A.$ b,b,b,b,·s $($ b $为常数，$ b\neq0 $)
B.$ 2^2,4^2,6^2,8^2,·s $
C.$ 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},·s $
D.$ \frac{1}{a},\frac{1}{a^2},\frac{1}{a^3},\frac{1}{a^4},·s $

答案： ACD[解析]A中的数列为常数列，公比为1，所以该数列是等比数列；B中，$\frac{4^2}{2^2} \neq \frac{6^2}{4^2}$，所以该数列不是等比数列；C中的数列是首项为1，公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列；D中的数列是首项为$\frac{1}{a}$，公比为$\frac{1}{a}$的等比数列.故选ACD.

2. [2024·重庆南开中学月考]已知数列$ a,a(1 - a),a(1 - a)^2,·s $是等比数列，则实数$ a $的取值范围是 (D)

A.$ a\neq1 $
B.$ a\neq0 $或$ a\neq1 $
C.$ a\neq0 $
D.$ a\neq0 $且$ a\neq1 $

答案： D[解析]由等比数列的定义，知$a \neq 0$且$a \neq 1$.

3. [2024·北京东城区检测]若数列$ \{a_n\} $是公比为$ \sqrt{2} $的正项等比数列，则$ \sqrt{a_{2n - 1}· a_{2n}} $是(A)

A.公比为$ 2\sqrt{2} $的等比数列
B.公比为$ \sqrt{2} $的等比数列
C.公差为$ 2\sqrt{2} $的等差数列
D.公差为$ \sqrt{2} $的等差数列

答案： A[解析]数列$\{ a_n \}$是公比为$\sqrt{2}$的正项等比数列，则$\frac{a_n}{a_{n-1}} = \sqrt{2} (n \geq 2)$，设$b_n = \sqrt{a_{2n-1} · a_{2n}}$，则$\frac{b_n}{b_{n-1}} = \frac{\sqrt{a_{2n-1} · a_{2n}}}{\sqrt{a_{2n-3} · a_{2n-2}}} = \sqrt{ (\sqrt{2})^2 · (\sqrt{2})^2 } = 2\sqrt{2} (n \geq 2)$，即$\{ \sqrt{a_{2n-1} · a_{2n}} \}$是公比为$2\sqrt{2}$的等比数列.

4. [2024·三亚调考]若$ \sqrt{7} $是$ 7^m $与$ 7^n $的等比中项，则$ m + n $的值为 (C)

A.$ -1 $
B.$ 0 $
C.$ 1 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： C[解析]由等比中项的定义，知$(\sqrt{7})^2 = 7^m × 7^n$，所以$7^{m+n} = 7$，所以$m+n=1$.

5. [2024·河北辛集中学月考]若互不相等的实数$ a,b,c $构成等差数列，且$ a $是$ b $与$ c $的等比中项，$ a + 3b + c = 10 $，则$ a = $ (D)

A.$ 4 $
B.$ 2 $
C.$ -2 $
D.$ -4 $

答案： D[解析]由互不相等的实数$a$，$b$，$c$构成等差数列，可得$2b=a+c$.因为$a+3b+c=10$，所以$5b=10$，即$b=2$，$a+c=4$.又$a$是$b$与$c$的等比中项，所以$a^2 = bc$，即$a^2 = 2c$.将$c=4-a$代入，可得$a=-4$或$a=2$(舍去).故选D.

6. [2024·北京四中期中]在等差数列$ \{a_n\} $中，$ a_3 = 0 $，若$ a_k $是$ a_6 $与$ a_{k + 6} $的等比中项，则$ k = $ 9.

答案： 9[解析]由题意得$a_3 = a_1 + 2d = 0$，所以$a_1 = -2d$.因为$a_k$是$a_6$与$a_{k+6}$的等比中项，所以$a_k^2 = a_6 a_{k+6}$，即$[a_1 + (k-1)d]^2 = (a_1 + 5d)[a_1 + (k+5)d]$，所以$k^2 - 9k = 0$，解得$k=9$或$k=0$(舍去).

7. [2024·重庆八中期中]已知等比数列$ \{a_n\} $的公比为正数，且$ a_3a_9 = 2a_5^2 $，$ a_2 = 1 $，则$ a_1 = $(D)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ 2 $
C.$ \sqrt{2} $
D.$ \frac{\sqrt{2}}{2} $

答案： D[解析]设数列$\{ a_n \}$的公比为$q$，由已知，得$a_1 q^4 · a_1 q^8 = 2(a_1 q^2)^2$，即$q^2 = 2$.因为$q＞0$，所以$q = \sqrt{2}$，所以$a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.故选D.

8. [2024·东北育才学校期末]已知等比数列$ \{a_n\} $的前三项依次为$ a - 1,a + 1,a + 4 $，则$ a_n = $(C)

A.$ 4×\left( \frac{3}{2} \right)^n $
B.$ 4×\left( \frac{2}{3} \right)^n $
C.$ 4×\left( \frac{3}{2} \right)^{n - 1} $
D.$ 4×\left( \frac{2}{3} \right)^{n - 1} $

答案： C[解析]由题意，知$(a+1)^2 = (a-1)(a+4)$，解得$a=5$，所以$\frac{a+1}{a-1} = \frac{5+1}{5-1} = \frac{3}{2}$.因为$a-1=4$，所以数列$\{ a_n \}$是首项为4，公比为$\frac{3}{2}$的等比数列，所以$a_n = 4 × (\frac{3}{2})^{n-1}$.

9. [2024·上海大学附中期中]在数列$ \{a_n\} $中，对任意$ n\in\mathbf{N}^* $，都有$ a_{n + 1} - 2a_n = 0(a_n\neq0) $，则$ \frac{2a_1 + a_2}{2a_3 + a_4} = $(D)

A.$ 1 $
B.$ \frac{1}{2} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{1}{4} $

答案： D[解析]由$a_{n+1} - 2a_n = 0 (a_n \neq 0)$，得$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2$，所以数列$\{ a_n \}$为等比数列，且公比为$q=2$，所以$\frac{2a_1 + a_2}{2a_3 + a_4} = \frac{2a_1 + a_1 q}{2a_1 q^2 + a_1 q^3} = \frac{1}{q^2} = \frac{1}{4}$.

10. [2024·武汉二中月考]已知数列$ \{a_n\} $为等比数列，$ a_3 = 2 $，$ a_2 + a_4 = \frac{20}{3} $，则数列$ \{a_n\} $的通项公式为 $a_n = 2 × 3^{3-n}$或$a_n = 2 × 3^{n-3}$.

答案： $a_n = 2 × 3^{3-n}$或$a_n = 2 × 3^{n-3}$[解析]设等比数列的公比为$q$，则$q \neq 0$，$a_2 = \frac{a_3}{q} = \frac{2}{q}$，$a_4 = a_3 q = 2q$，所以$\frac{2}{q} + 2q = \frac{20}{3}$，解得$q = \frac{1}{3}$或$q=3$.当$q = \frac{1}{3}$时，$a_1 = 18$，所以$a_n = 18 × (\frac{1}{3})^{n-1} = 2 × 3^{3-n}$；当$q=3$时，$a_1 = \frac{2}{9}$，所以$a_n = \frac{2}{9} × 3^{n-1} = 2 × 3^{n-3}$.

11. [2024·孝感高中月考]已知$ \{a_n\} $为等比数列.
(1) 若$ a_5 = 8 $，$ a_7 = 2 $，该数列的各项都为正数，求$ a_n $；
(2) 若$ a_1 = \frac{9}{8} $，$ a_n = \frac{1}{3} $，公比$ q = \frac{2}{3} $，求项数$ n $；
(3) 若$ a_{n + 4} = a_4 $，求公比$ q $.

答案：
(1)设等比数列$\{ a_n \}$的公比为$q$，由题意知$q＞0$.由已知得$\begin{cases} a_1 q^4 = 8, \\ a_1 q^6 = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} q^2 = \frac{1}{4}, \\ a_1 = 128. \end{cases}$因为$q＞0$，所以$q = \frac{1}{2}$，所以$a_n = 128 × (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{2^{n-8}}$.
(2)由$a_n = a_1 · q^{n-1}$，得$\frac{1}{3} = \frac{9}{8} × (\frac{2}{3})^{n-1}$，即$(\frac{2}{3})^{n-1} = (\frac{2}{3})^{3}$，解得$n=4$.
(3)因为$a_{n+4} = a_1 q^{n+3}$，$a_4 = a_1 q^3$，且$a_{n+4} = a_4$，所以$q^n = 1$，所以当$n$为偶数时，$q = \pm 1$；当$n$为奇数时，$q=1$.