《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 如图，某校准备在校园里利用25m长的旧围墙MN的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现已备足可以砌60m长的墙的材料（全部用完），设AB的长为$x$m。
（1）BC的长为_______m；$x$的取值范围是_______；
（2）当$x$为何值时，可使矩形花园ABCD的面积为$400m^{2}$；
（3）嘉嘉说：“矩形花园ABCD的面积可以为$500m^{2}$。”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由。

答案： （1）$60 - 2x$；$\frac{35}{2}\leq x＜30$
解析：因为AB为$x$m，AD和BC为矩形的宽，且AD=BC，材料总长60m，所以BC=(60 - 2x)m。又因为旧围墙MN长25m，所以$0＜60 - 2x\leq25$，解得$\frac{35}{2}\leq x＜30$。
（2）$x = 20$
解析：面积$S=x(60 - 2x)=400$，即$-2x^{2}+60x - 400=0$，化简得$x^{2}-30x + 200=0$，分解因式$(x - 10)(x - 20)=0$，解得$x=10$或$x=20$，因为$\frac{35}{2}\leq x＜30$，所以$x=20$。
（3）不正确
解析：假设面积为500，则$x(60 - 2x)=500$，即$-2x^{2}+60x - 500=0$，判别式$\Delta=3600 - 4000=-400＜0$，方程无解，所以不能为$500m^{2}$。

2. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的40元/kg经两次调价后调至32.4元/kg。
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500kg，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

答案： （1）10%
解析：设降价率为$r$，则$40(1 - r)^{2}=32.4$，$(1 - r)^{2}=0.81$，$1 - r=0.9$，$r=0.1=10\%$。
（2）5元
解析：设涨价$x$元，$(10 + x)(500 - 20x)=6000$，$5000 - 200x + 500x - 20x^{2}=6000$，$-20x^{2}+300x - 1000=0$，$x^{2}-15x + 50=0$，$(x - 5)(x - 10)=0$，解得$x=5$或$x=10$，要使顾客实惠，取$x=5$。