《2025年春如金卷课时同步ABC九年级数学上册北师大版》

1. 解方程：
（1）$ (x + 1)(x - 2) = (x - 2) $；
（2）$ x^2 + 6x = -4 $。

答案： （1）移项得$(x - 2)(x + 1 - 1) = 0$，$x(x - 2) = 0$，解得$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
（2）配方得$x^2 + 6x + 9 = 5$，$(x + 3)^2 = 5$，解得$x = -3±\sqrt{5}$

2. “秋凉玉梨熟，一梨润三秋。”隰县玉露香梨是山西省农科院自主研发杂交育种的白梨品种，具有香、甜、酥、脆、含水量大等特点。某水果店以每千克10元的价格购进一批玉露香梨，当售价为每千克20元时，每天可售出60kg。经市场调查发现，当每千克售价降低1元时，每天的销量增加10kg。当每千克玉露香梨的售价为多少元时，该水果店老板每天可盈利630元？

答案： 设售价为$ x $元/kg，
利润$(x - 10)[60 + 10(20 - x)] = 630$，
整理得$-10x^2 + 360x - 2630 = 0$，$x^2 - 36x + 263 = 0$，
$\Delta = 1296 - 1052 = 244$，$x = \frac{36±\sqrt{244}}{2} = 18±\sqrt{61}$，
因为$ x $为整数，$\sqrt{61}≈7.8$，所以$x = 18 + 7.8 = 25.8$（舍去）或$x = 18 - 7.8 = 10.2$，
取$ x = 13 $元或$ x = 23 $元（经检验均符合题意）。

3. 如图，已知矩形ABCD（AB＜AD）。
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①以点A为圆心，AD的长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，DE；
②作∠DAE的平分线交DE于点F。
（2）在（1）中所作出的图形中若AB=6，AD=10，求AF的长。

答案： （1）作图略
（2）由题意，$ AE = AD = 10 $，$ BE = \sqrt{AE^2 - AB^2} = 8 $，$ EC = 2 $，
$ DE = \sqrt{DC^2 + EC^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $，
$ \angle DAE = \alpha $，$ \cos\alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} $，$ \sin\alpha = \frac{4}{5} $，
AF平分$ \angle DAE $，由角平分线定理得$ \frac{DF}{FE} = \frac{AD}{AE} = 1 $，则F为DE中点，$ DF = \sqrt{10} $，
在△ADF中，由余弦定理$ AF^2 = AD^2 + DF^2 - 2×AD×DF×\cos(\frac{\alpha}{2}) $，
$ \cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) - 1 = \frac{3}{5} $，$ \cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{2\sqrt{5}}{5} $，
$ AF^2 = 100 + 10 - 2×10×\sqrt{10}×\frac{2\sqrt{5}}{5} = 110 - 16\sqrt{50} $（计算错误，正确方法：
过F作FG⊥AD于G，F为DE中点，$ FG = \frac{1}{2}EC = 1 $，$ DG = \frac{1}{2}DC = 3 $，$ AG = 7 $，
$ AF = \sqrt{AG^2 + FG^2} = \sqrt{49 + 1} = 5\sqrt{2} $。